Utiliser les propriétés de la symétrie centrale
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La symétrie centrale possède plusieurs propriétés de conservation. Pour résoudre un problème, il faut repérer la bonne propriété.
- Longueur : deux segments symétriques par rapport à un point ont la même longueur.
- Angle : deux angles symétriques par rapport à un point ont la même mesure.
- Aire et périmètre : deux figures symétriques par rapport à un point ont le même périmètre et la même aire.
- Parallélisme : deux droites symétriques par rapport à un point sont parallèles.
- Alignement : le symétrique de trois points alignés est formé de trois points alignés.
Remarque
Quand la symétrie est donnée par le milieu d'un segment (par exemple « $ O $ milieu de $ [AA'] $ »), cela signifie que $ A $ et $ A' $ sont symétriques par rapport à $ O $. On peut alors utiliser toutes les propriétés ci-dessus.
Exemples
Utiliser la conservation des longueurs
Les triangles $ RST $ et $ R'S'T' $ sont symétriques par rapport à un point $ O $. On sait que $ RS = 6 $ cm, $ ST = 4 $ cm et $ RT = 5 $ cm. Calculer le périmètre du triangle $ R'S'T' $.
Étape 1 : La symétrie centrale conserve les longueurs. Donc :
$ R'S' = RS = 6 $ cm, $ S'T' = ST = 4 $ cm et $ R'T' = RT = 5 $ cm.
Étape 2 : Calculer le périmètre :
$ P = R'S' + S'T' + R'T' = 6 + 4 + 5 = 15 $ cm.
Le périmètre du triangle $ R'S'T' $ est $ 15 $ cm.
Utiliser la conservation des angles
Les figures $ \mathcal{F}_1 $ et $ \mathcal{F}_2 $ sont symétriques par rapport à un point $ O $. Dans $ \mathcal{F}_1 $, un angle mesure $ 73° $. Que peut-on dire de son image dans $ \mathcal{F}_2 $ ?
Étape 1 : La symétrie centrale conserve les angles. Donc l'image de cet angle dans $ \mathcal{F}_2 $ a la même mesure.
Étape 2 : L'angle image mesure $ 73° $.
Utiliser le parallélisme
Les droites $ (d_1) $ et $ (d_2) $ sont symétriques par rapport à un point $ O $. Que peut-on dire de ces deux droites ?
Étape 1 : D'après la propriété, deux droites symétriques par rapport à un point sont parallèles.
Étape 2 : Les droites $ (d_1) $ et $ (d_2) $ sont donc parallèles.
Utiliser la conservation de l'aire
Un rectangle $ ABCD $ a pour longueur $ 8 $ cm et pour largeur $ 3 $ cm. Le rectangle $ A'B'C'D' $ est le symétrique de $ ABCD $ par rapport à un point $ O $. Calculer l'aire de $ A'B'C'D' $.
Étape 1 : Calculer l'aire de $ ABCD $ :
$ \mathcal{A} = 8 \times 3 = 24 $ cm$ ^2 $.
Étape 2 : La symétrie centrale conserve les aires. Donc :
$ \mathcal{A}(A'B'C'D') = \mathcal{A}(ABCD) = 24 $ cm$ ^2 $.
Attention
La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles, les périmètres et les aires, mais elle ne conserve pas les positions : la figure image est retournée par un demi-tour. Une figure et son symétrique n'occupent pas le même endroit dans le plan.