Statistiques
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1 - Série de données et vocabulaire
Série statistique
Une série statistique est une liste de données recueillies lors d'une enquête ou d'une observation.
- Chaque valeur observée s'appelle une donnée de la série.
- L'effectif d'une donnée est le nombre de fois où cette donnée apparaît.
- L'effectif total est la somme de tous les effectifs.
Sondage sur la couleur préférée
On demande à $ 20 $ élèves leur couleur préférée. Voici les réponses :
bleu, rouge, bleu, vert, violet, bleu, vert, rouge, vert, vert, violet, violet, rose, vert, orange, bleu, rouge, bleu, orange, vert.
On regroupe les données dans un tableau d'effectifs :
| Couleur | bleu | rouge | vert | orange | violet | rose | Total |
| Effectif | 5 | 3 | 6 | 2 | 3 | 1 | 20 |
L'effectif de la donnée « vert » est $ 6 $. L'effectif total est $ 20 $.
Remarque
La somme des effectifs est toujours égale à l'effectif total. C'est une façon rapide de vérifier qu'on n'a oublié aucune donnée.
2 - Fréquence d'une donnée
Fréquence
La fréquence d'une donnée est le quotient de son effectif par l'effectif total :
Propriétés des fréquences
- Une fréquence est toujours comprise entre $ 0 $ et $ 1 $.
- La somme de toutes les fréquences d'une série est égale à $ 1 $.
- Les fréquences sont proportionnelles aux effectifs.
Tableau des fréquences
On reprend la série du sondage précédent (effectif total $ 20 $). On calcule la fréquence de chaque couleur :
| Couleur | bleu | rouge | vert | orange | violet | rose | Total |
| Effectif | 5 | 3 | 6 | 2 | 3 | 1 | 20 |
| Fréquence | $ \dfrac{5}{20} $ | $ \dfrac{3}{20} $ | $ \dfrac{6}{20} $ | $ \dfrac{2}{20} $ | $ \dfrac{3}{20} $ | $ \dfrac{1}{20} $ | 1 |
On peut aussi donner ces fréquences en nombre décimal :
Leur somme vaut bien $ 1 $.
Trois écritures d'une fréquence
Une fréquence peut être exprimée sous trois formes équivalentes : une fraction, un nombre décimal ou un pourcentage. Par exemple :
3 - Moyenne d'une série de données
Moyenne
La moyenne d'une série statistique est égale au quotient de la somme de toutes les données par l'effectif total :
Les notes d'Alice
Voici les cinq notes sur $ 20 $ obtenues par Alice en mathématiques :
Pour calculer sa moyenne, on fait la somme des notes puis on divise par le nombre de notes :
La moyenne d'Alice est donc $ 12 / 20 $.
Encadrement de la moyenne
La moyenne d'une série est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de la série.
Exemple
Dans l'exemple précédent, la plus petite note est $ 9{,}5 $ et la plus grande est $ 14 $. On vérifie bien :
Attention
- La moyenne n'est pas forcément égale à l'une des données de la série.
- Il ne faut pas confondre la moyenne avec la demi-somme du minimum et du maximum : ces deux nombres sont en général différents.
4 - Moyenne pondérée
Moyenne à partir d'un tableau d'effectifs
Quand les données sont regroupées dans un tableau d'effectifs, la moyenne est égale à :
On parle alors de moyenne pondérée : chaque valeur est comptée autant de fois que son effectif.
Notes d'un contrôle
Le professeur a relevé les notes sur $ 20 $ des $ 25 $ élèves d'une classe :
| Note | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | Total |
| Effectif | 3 | 7 | 8 | 5 | 2 | 25 |
On calcule la somme pondérée :
Puis on divise par l'effectif total :
La moyenne de la classe est donc $ 11{,}68 / 20 $.
Remarque
On retrouve la moyenne simple en reprenant la définition : écrire la valeur $ 8 $ trois fois, la valeur $ 10 $ sept fois, etc., puis faire la somme de toutes les notes divisée par $ 25 $ donne le même résultat.
5 - Diagramme en bâtons
Règle du diagramme en bâtons
Dans un diagramme en bâtons, chaque donnée est représentée par un bâton vertical. Les hauteurs des bâtons sont proportionnelles aux effectifs de chaque donnée.
- Les valeurs de la donnée sont placées sur l'axe horizontal.
- Les effectifs sont lus sur l'axe vertical.
- On n'oublie pas de légender chaque axe.
Nombre d'animaux par élève
On a demandé à $ 26 $ élèves combien d'animaux familiers ils possédaient :
| Nombre d'animaux | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Effectif | 10 | 8 | 6 | 2 |
On représente les effectifs par un diagramme en bâtons :
6 - Histogramme et regroupement en classes
Regroupement en classes
Quand les données sont nombreuses et variées, on les regroupe en classes (intervalles de même amplitude). On les représente par un histogramme : des rectangles côte à côte sans espace entre eux.
Lorsque les classes ont toutes la même amplitude, les hauteurs des rectangles sont proportionnelles aux effectifs des classes.
Taille des élèves d'une classe
On a mesuré la taille (en centimètres) des $ 30 $ élèves d'une classe de 5e. Les résultats ont été regroupés en classes d'amplitude $ 5 $ cm :
| Taille (en cm) | $ [130\,;\,135[ $ | $ [135\,;\,140[ $ | $ [140\,;\,145[ $ | $ [145\,;\,150[ $ | $ [150\,;\,155[ $ | $ [155\,;\,160[ $ |
| Effectif | 2 | 10 | 6 | 4 | 2 | 6 |
L'histogramme correspondant est :
Attention
Dans un histogramme, les rectangles sont accolés (sans espace) car les classes se suivent. Dans un diagramme en bâtons, les bâtons sont séparés car les valeurs sont distinctes.
7 - Diagramme circulaire
Règle du diagramme circulaire
Dans un diagramme circulaire (appelé aussi « camembert »), chaque donnée est représentée par un secteur du disque. Les mesures des angles sont proportionnelles aux effectifs.
L'effectif total correspond à un angle de $ 360\,° $. On calcule l'angle correspondant à un effectif $ n $ par :
Seconde langue vivante
Dans un collège, on a recensé la seconde langue choisie par les $ 100 $ élèves de 5e :
| Langue | allemand | espagnol | italien | anglais | Total |
| Effectif | 15 | 50 | 10 | 25 | 100 |
| Angle (en °) | 54 | 180 | 36 | 90 | 360 |
Comme l'effectif total est $ 100 $, chaque unité d'effectif vaut $ \dfrac{360}{100} = 3{,}6 $ degrés. On multiplie donc chaque effectif par $ 3{,}6 $ pour obtenir l'angle correspondant.
Remarque
On peut aussi construire un diagramme semi-circulaire : l'effectif total correspond alors à $ 180\,° $ au lieu de $ 360\,° $.
Attention
La somme des angles d'un diagramme circulaire doit toujours valoir $ 360\,° $. Si ce n'est pas le cas, c'est qu'il y a une erreur de calcul.
Les questions essentielles
1. Comment calculer un effectif et une fréquence ?
On compte le nombre de fois où la donnée apparaît (effectif), puis on divise cet effectif par l'effectif total pour obtenir la fréquence. On peut exprimer la fréquence en fraction, en décimal ou en pourcentage.
Voir la fiche méthode : Calculer un effectif et une fréquence
2. Comment calculer la moyenne d'une liste de valeurs ?
On additionne toutes les valeurs de la liste, puis on divise la somme obtenue par le nombre de valeurs. Par exemple, la moyenne de $ 11 $, $ 12{,}5 $, $ 14 $, $ 9{,}5 $ et $ 13 $ est $ \dfrac{60}{5} = 12 $.
Voir la fiche méthode : Calculer une moyenne simple
3. Comment calculer une moyenne pondérée à partir d'un tableau ?
On multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne tous les produits obtenus, puis on divise par l'effectif total. Cette méthode s'utilise dès que les données sont regroupées dans un tableau.
Voir la fiche méthode : Calculer une moyenne pondérée
4. Comment construire un diagramme en bâtons ?
On place les valeurs de la donnée sur l'axe horizontal et les effectifs sur l'axe vertical. Pour chaque valeur, on trace un bâton dont la hauteur correspond à l'effectif lu dans le tableau.
Voir la fiche méthode : Construire un diagramme en bâtons
5. Comment construire un diagramme circulaire ?
On calcule l'angle de chaque secteur grâce à la formule $ \text{angle} = \dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}} \times 360 $, puis on trace chaque secteur au rapporteur dans un disque. La somme des angles doit valoir $ 360\,° $.
Voir la fiche méthode : Construire un diagramme circulaire