Proportionnalité, pourcentages, échelles
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteObjectifs du chapitre
1 - Reconnaître une situation de proportionnalité
Grandeurs proportionnelles
Deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l'une s'obtiennent en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.
Tableau de proportionnalité
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque les valeurs de la deuxième ligne s'obtiennent en multipliant les valeurs de la première ligne par un même nombre (le coefficient de proportionnalité).
Le coefficient de proportionnalité se calcule par le rapport :
Exemple
Des fruits coûtent $ 2{,}50 $ euros le kilogramme. Le prix est proportionnel à la masse achetée.
| Masse (kg) | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 5 $ |
|---|---|---|---|
| Prix (euros) | $ 2{,}50 $ | $ 5{,}00 $ | $ 12{,}50 $ |
On vérifie : $ \dfrac{2{,}50}{1} = 2{,}5 $, $ \dfrac{5}{2} = 2{,}5 $, $ \dfrac{12{,}50}{5} = 2{,}5 $.
Tous les quotients sont égaux : c'est un tableau de proportionnalité. Le coefficient est $ 2{,}5 $.
Exemple
La taille d'un enfant n'est pas proportionnelle à son âge.
| Âge (années) | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 10 $ |
|---|---|---|---|
| Taille (cm) | $ 75 $ | $ 85 $ | $ 140 $ |
On calcule les quotients : $ \dfrac{75}{1} = 75 $, $ \dfrac{85}{2} = 42{,}5 $, $ \dfrac{140}{10} = 14 $.
Les quotients ne sont pas égaux : la taille et l'âge ne sont pas des grandeurs proportionnelles.
Attention
Pour vérifier si un tableau est un tableau de proportionnalité, il faut calculer tous les quotients. Un seul quotient différent suffit pour conclure que les grandeurs ne sont pas proportionnelles.
2 - Calculer une quatrième proportionnelle
Propriété
Dans un tableau de proportionnalité à quatre cases dont trois valeurs sont connues, on peut calculer la quatrième valeur, appelée quatrième proportionnelle.
Par le coefficient de proportionnalité
$ 3 $ kg de pommes coûtent $ 7{,}50 $ euros. Combien coûtent $ 5 $ kg ?
| Masse (kg) | $ 3 $ | $ 5 $ |
|---|---|---|
| Prix (euros) | $ 7{,}50 $ | $ ? $ |
On calcule le coefficient : $ k = \dfrac{7{,}50}{3} = 2{,}5 $.
Le prix de $ 5 $ kg est : $ 5 \times 2{,}5 = 12{,}50 $ euros.
Par retour à l'unité
$ 4 $ cahiers coûtent $ 6 $ euros. Combien coûtent $ 7 $ cahiers ?
On calcule d'abord le prix d'un cahier :
$ 1 $ cahier coûte $ \dfrac{6}{4} = 1{,}50 $ euro.
Donc $ 7 $ cahiers coûtent $ 7 \times 1{,}50 = 10{,}50 $ euros.
Produit en croix
Si quatre nombres $ a $, $ b $, $ c $ et $ d $ (avec $ a \neq 0 $) vérifient $ \dfrac{b}{a} = \dfrac{d}{c} $, alors :
Dans un tableau de proportionnalité, on peut utiliser cette propriété pour calculer la valeur manquante :
| $ a $ | $ c $ |
| $ b $ | $ d $ |
On en déduit par exemple : $ d = \dfrac{b \times c}{a} $.
Par produit en croix
Un robinet remplit $ 12 $ litres en $ 5 $ minutes. Quel volume remplit-il en $ 8 $ minutes ?
| Temps (min) | $ 5 $ | $ 8 $ |
|---|---|---|
| Volume (L) | $ 12 $ | $ x $ |
Par produit en croix : $ 5 \times x = 12 \times 8 $, donc $ x = \dfrac{12 \times 8}{5} = \dfrac{96}{5} = 19{,}2 $.
Le robinet remplit $ 19{,}2 $ litres en $ 8 $ minutes.
Propriétés de linéarité
Dans un tableau de proportionnalité :
- on peut multiplier (ou diviser) les valeurs d'une colonne par un même nombre pour obtenir une autre colonne,
- on peut additionner (ou soustraire) les valeurs de deux colonnes pour obtenir les valeurs d'une troisième colonne.
Exemple
On sait que $ 3 $ kg coûtent $ 7{,}50 $ euros et que $ 5 $ kg coûtent $ 12{,}50 $ euros.
| Masse (kg) | $ 3 $ | $ 5 $ | $ 8 $ |
|---|---|---|---|
| Prix (euros) | $ 7{,}50 $ | $ 12{,}50 $ | $ ? $ |
Par additivité : $ 8 = 3 + 5 $, donc le prix est $ 7{,}50 + 12{,}50 = 20 $ euros.
3 - Pourcentages
Définition
Un pourcentage est une proportion exprimée par rapport à $ 100 $. Écrire « $ t\,\% $ » signifie « $ t $ pour $ 100 $ », c'est-à-dire la fraction $ \dfrac{t}{100} $.
Exemple
- $ 25\,\% = \dfrac{25}{100} = 0{,}25 $
- $ 50\,\% = \dfrac{50}{100} = 0{,}5 $
- $ 7\,\% = \dfrac{7}{100} = 0{,}07 $
Appliquer un pourcentage
Calculer $ t\,\% $ d'une quantité $ Q $ revient à multiplier cette quantité par $ \dfrac{t}{100} $ :
Exemple
Un magasin propose une réduction de $ 15\,\% $ sur un article à $ 80 $ euros.
Le montant de la réduction est :
$ \dfrac{15}{100} \times 80 = 0{,}15 \times 80 = 12 $ euros.
Le prix après réduction est : $ 80 - 12 = 68 $ euros.
Calculer un pourcentage
Pour exprimer la proportion d'une partie dans un total sous forme de pourcentage, on calcule :
Exemple
Dans une classe de $ 25 $ élèves, $ 15 $ sont des filles.
La proportion de filles en pourcentage est :
$ \dfrac{15}{25} \times 100 = 0{,}6 \times 100 = 60 $
Il y a $ 60\,\% $ de filles dans la classe.
Attention
Le pourcentage se calcule toujours par rapport au total, pas par rapport à la partie. Par exemple, pour une réduction de $ 10 $ euros sur un prix initial de $ 50 $ euros, le pourcentage de réduction est $ \dfrac{10}{50} \times 100 = 20\,\% $ (et non $ \dfrac{10}{40} \times 100 $).
4 - Échelles
Définition
L'échelle d'un plan (ou d'une carte, d'une maquette) est le rapport :
les deux distances étant exprimées dans la même unité.
Exemple
Sur un plan à l'échelle $ \dfrac{1}{200} $, une pièce mesure $ 4 $ cm.
Sa longueur réelle est : $ 4 \times 200 = 800 $ cm $ = 8 $ m.
Exemple
La distance entre deux villes est de $ 80 $ km. Sur une carte, elles sont séparées de $ 4 $ cm.
On convertit dans la même unité : $ 80 $ km $ = 8\,000\,000 $ cm.
L'échelle est : $ \dfrac{4}{8\,000\,000} = \dfrac{1}{2\,000\,000} $.
La carte est à l'échelle $ \dfrac{1}{2\,000\,000} $.
Remarque
- Si la distance sur le plan est inférieure à la distance réelle, il s'agit d'une réduction (exemple : carte routière).
- Si la distance sur le plan est supérieure à la distance réelle, il s'agit d'un agrandissement (exemple : observation au microscope).
5 - Ratios et partages proportionnels
Définition
Un ratio est une comparaison de deux ou plusieurs quantités exprimant leurs proportions relatives. On le note avec le symbole « : ».
- Le ratio $ a : b $ signifie « $ a $ parts pour $ b $ parts ».
- Le ratio $ a : b : c $ signifie « $ a $ parts pour $ b $ parts pour $ c $ parts ».
Exemple
Pour faire du béton, on mélange du ciment, du sable et du gravier dans le ratio $ 1 : 2 : 3 $.
Pour chaque volume de ciment, il faut $ 2 $ volumes de sable et $ 3 $ volumes de gravier.
Si on prend $ 3 $ seaux de ciment, il faut $ 6 $ seaux de sable et $ 9 $ seaux de gravier.
Partage selon un ratio
Pour partager une quantité $ Q $ selon le ratio $ a : b $ :
- Calculer le nombre total de parts : $ a + b $.
- Calculer la valeur d'une part : $ \dfrac{Q}{a + b} $.
- Multiplier pour obtenir chaque part.
Exemple
Partager $ 600 $ euros entre deux personnes selon le ratio $ 2 : 3 $.
Nombre total de parts : $ 2 + 3 = 5 $.
Valeur d'une part : $ \dfrac{600}{5} = 120 $ euros.
Première personne : $ 2 \times 120 = 240 $ euros.
Deuxième personne : $ 3 \times 120 = 360 $ euros.
Vérification : $ 240 + 360 = 600 $ euros.
Exemple
Partager $ 420 $ mL de jus selon le ratio $ 3 : 2 : 1 $.
Nombre total de parts : $ 3 + 2 + 1 = 6 $.
Valeur d'une part : $ \dfrac{420}{6} = 70 $ mL.
Quantité 1 : $ 3 \times 70 = 210 $ mL.
Quantité 2 : $ 2 \times 70 = 140 $ mL.
Quantité 3 : $ 1 \times 70 = 70 $ mL.
Vérification : $ 210 + 140 + 70 = 420 $ mL.
Attention
Lors d'un partage selon un ratio, chaque part se calcule par rapport au total des parts et non par rapport à la quantité à partager. Par exemple, pour un ratio $ 2 : 3 $, il y a $ 5 $ parts au total (et non $ 2 $ ou $ 3 $).
Les questions essentielles
1. Comment reconnaître une situation de proportionnalité ?
On calcule les quotients de la deuxième ligne par la première ligne pour chaque colonne. Si tous les quotients sont égaux, les grandeurs sont proportionnelles et le quotient commun est le coefficient de proportionnalité.
Voir la fiche méthode : Reconnaître une situation de proportionnalité
2. Comment calculer une quatrième proportionnelle ?
On peut utiliser le coefficient de proportionnalité, le retour à l'unité (passage par 1) ou le produit en croix. Le choix dépend des nombres en jeu.
Voir la fiche méthode : Calculer une quatrième proportionnelle
3. Comment appliquer un pourcentage ?
Pour calculer $ t\,\% $ d'une quantité $ Q $, on multiplie $ Q $ par $ \dfrac{t}{100} $. Par exemple, $ 15\,\% $ de $ 80 = \dfrac{15}{100} \times 80 = 12 $.
Voir la fiche méthode : Appliquer un pourcentage
4. Comment calculer un pourcentage ?
On divise la partie par le total, puis on multiplie par $ 100 $. Le pourcentage se calcule toujours par rapport au total de référence.
Voir la fiche méthode : Calculer un pourcentage
5. Comment utiliser une échelle ?
L'échelle est le rapport entre la distance sur le plan et la distance réelle, les deux étant dans la même unité. On l'utilise pour passer de l'une à l'autre par multiplication ou division.
Voir la fiche méthode : Utiliser une échelle