Utiliser une échelle
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Méthode
L'échelle d'un plan est le rapport $ \dfrac{\text{distance sur le plan}}{\text{distance réelle}} $, les distances étant dans la même unité.
- Repérer les données : échelle, distance sur le plan, distance réelle.
- Convertir les distances dans la même unité (en général le centimètre).
- Utiliser la relation d'échelle pour calculer la valeur manquante.
Exemple 1 — Calculer une distance réelle
Sur un plan à l'échelle $ \dfrac{1}{500} $, un mur mesure $ 6 $ cm. Quelle est sa longueur réelle ?
Étape 1 : L'échelle $ \dfrac{1}{500} $ signifie que $ 1 $ cm sur le plan représente $ 500 $ cm dans la réalité.
Étape 2 : On calcule la longueur réelle :
$ 6 \times 500 = 3\,000 $ cm $ = 30 $ m.
Le mur mesure $ 30 $ m dans la réalité.
Exemple 2 — Calculer une distance sur le plan
La distance entre deux villes est de $ 120 $ km. La carte est à l'échelle $ \dfrac{1}{4\,000\,000} $. Quelle est la distance entre les deux villes sur la carte ?
Étape 1 : On convertit en centimètres :
$ 120 $ km $ = 120 \times 100\,000 = 12\,000\,000 $ cm.
Étape 2 : On applique l'échelle :
$ \dfrac{\text{distance plan}}{12\,000\,000} = \dfrac{1}{4\,000\,000} $
Étape 3 : On résout :
distance plan $ = \dfrac{12\,000\,000}{4\,000\,000} = 3 $ cm.
Les deux villes sont séparées de $ 3 $ cm sur la carte.
Exemple 3 — Déterminer l'échelle
Une maquette de voiture mesure $ 8{,}5 $ cm de long. La voiture réelle mesure $ 4{,}25 $ m.
Étape 1 : On convertit dans la même unité :
$ 4{,}25 $ m $ = 425 $ cm.
Étape 2 : On calcule l'échelle :
$ \dfrac{8{,}5}{425} = \dfrac{1}{50} $
L'échelle de la maquette est $ \dfrac{1}{50} $.
Attention
- Les deux distances doivent être dans la même unité avant de calculer le rapport. Convertir les km en cm ($ \times 100\,000 $) ou les m en cm ($ \times 100 $).
- Une échelle $ \dfrac{1}{200} $ signifie que les distances réelles sont $ 200 $ fois plus grandes que sur le plan (réduction). Une échelle $ \dfrac{2}{1} $ signifie que le dessin est $ 2 $ fois plus grand que la réalité (agrandissement).