Calcul littéral (initiation)
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1 - Expressions littérales
Définition
Une expression littérale est une expression mathématique qui contient une ou plusieurs lettres. Ces lettres désignent des nombres.
Exemple
L'aire $ \mathscr{A} $ d'un rectangle de longueur $ L $ et de largeur $ \ell $ est donnée par l'expression littérale :
On dit aussi que cette expression est une formule.
Un site internet vend des clés USB à $ 4 $ euros l'unité et facture la livraison $ 3 $ euros. Le prix à payer $ P $ dépend du nombre $ n $ de clés achetées :
Conventions d'écriture
Dans une expression littérale, on peut supprimer le signe $ \times $ lorsqu'il est placé :
- devant ou derrière une lettre ;
- devant ou derrière une parenthèse.
Exemple
- $ 4 \times a = 4a $
- $ a \times 4 = 4a $ (on place le nombre devant la lettre)
- $ b \times c = bc $
- $ 5 \times (x + 4) = 5(x + 4) $
L'expression du prix des clés USB s'écrit donc : $ P = 4n + 3 $.
Attention
On ne peut pas supprimer le signe $ \times $ entre deux nombres : $ 4 \times 5 \neq 45 $.
Cas particuliers
Pour tout nombre $ a $ :
- $ 1 \times a = a $ (on n'écrit pas $ 1a $ mais $ a $)
- $ 0 \times a = 0 $
- $ a \times a = a^{2} $ (se lit « $ a $ au carré »)
- $ a \times a \times a = a^{3} $ (se lit « $ a $ au cube »)
Exemple
- $ x \times x = x^{2} $
- $ 3 \times x \times x = 3x^{2} $ (se lit « $ 3 $ $ x $ au carré »)
- $ 5 \times 5 = 5^{2} = 25 $
- $ 2 \times 2 \times 2 = 2^{3} = 8 $
2 - Calculer la valeur numérique d'une expression
Définition
Calculer la valeur numérique d'une expression littérale, c'est remplacer chaque lettre par le nombre donné, puis effectuer les calculs en respectant les priorités opératoires.
Exemple
On veut calculer l'aire d'un rectangle de longueur $ L = 6 $ cm et de largeur $ \ell = 4 $ cm.
On remplace $ L $ par $ 6 $ et $ \ell $ par $ 4 $ dans la formule $ \mathscr{A} = L \times \ell $ :
$ \mathscr{A} = 6 \times 4 $
$ \mathscr{A} = 24 $
L'aire du rectangle est $ 24 $ cm².
Exemple
On veut calculer le prix à payer pour $ n = 5 $ clés USB, sachant que $ P = 4n + 3 $.
On remplace $ n $ par $ 5 $ :
$ P = 4 \times 5 + 3 $
$ P = 20 + 3 $
$ P = 23 $
Il faudra payer $ 23 $ euros pour $ 5 $ clés USB.
Remarque
Lorsqu'on remplace une lettre par sa valeur, il faut remettre le signe $ \times $ qui avait été supprimé par convention.
Par exemple, dans $ 4n + 3 $, on écrit bien $ 4 \times 5 + 3 $ et non $ 45 + 3 $.
Exemple
Calculer $ E = 3x^{2} + 1 $ pour $ x = 2 $.
On remplace $ x $ par $ 2 $ :
$ E = 3 \times 2^{2} + 1 $
$ E = 3 \times 4 + 1 $
$ E = 12 + 1 $
$ E = 13 $
Attention
Lors du calcul de la valeur numérique, il faut respecter les priorités opératoires : les puissances d'abord, puis les multiplications et divisions, et enfin les additions et soustractions.
3 - Tester une égalité
Définition
Une égalité est constituée de deux expressions séparées par le signe $ = $ :
- l'expression située à gauche du signe $ = $ est le membre de gauche ;
- l'expression située à droite du signe $ = $ est le membre de droite.
Une égalité est vraie lorsque les deux membres ont la même valeur.
Propriété
Lorsqu'une égalité contient des lettres, elle peut être vraie pour certaines valeurs des lettres et fausse pour d'autres.
Exemple
On considère l'égalité $ x + 2 = 8 $.
- Si $ x = 6 $ : le membre de gauche vaut $ 6 + 2 = 8 $ et le membre de droite vaut $ 8 $. Les deux membres sont égaux, donc l'égalité est vraie pour $ x = 6 $.
- Si $ x = 9 $ : le membre de gauche vaut $ 9 + 2 = 11 $ et le membre de droite vaut $ 8 $. Les deux membres ne sont pas égaux, donc l'égalité est fausse pour $ x = 9 $.
Tester une égalité pour une valeur donnée
Pour tester si une égalité est vraie pour une valeur donnée :
- Calculer la valeur numérique du membre de gauche en remplaçant la lettre par le nombre donné.
- Calculer la valeur numérique du membre de droite de la même façon.
- Comparer les deux résultats et conclure.
Exemple
Tester l'égalité $ 2x - 3 = x + 2 $ pour $ x = 5 $.
Membre de gauche :
$ 2 \times 5 - 3 = 10 - 3 = 7 $
Membre de droite :
$ 5 + 2 = 7 $
Les deux membres ont la même valeur $ 7 $, donc l'égalité $ 2x - 3 = x + 2 $ est vraie pour $ x = 5 $.
Exemple
Tester l'égalité $ 2x - 3 = x + 2 $ pour $ x = 8 $.
Membre de gauche :
$ 2 \times 8 - 3 = 16 - 3 = 13 $
Membre de droite :
$ 8 + 2 = 10 $
Les deux membres n'ont pas la même valeur ($ 13 \neq 10 $), donc l'égalité $ 2x - 3 = x + 2 $ est fausse pour $ x = 8 $.
4 - Réduire une expression
Définition
Des termes qui contiennent la même partie littérale (la même lettre, au même exposant) sont appelés termes semblables.
Réduire une expression, c'est regrouper et additionner les termes semblables.
Exemple
- $ 5x $ et $ 3x $ sont des termes semblables (même partie littérale $ x $).
- $ 4a $ et $ 7b $ ne sont pas des termes semblables (parties littérales différentes).
- $ 5 $ et $ 3 $ sont des termes semblables (ce sont des constantes, sans lettre).
Réduction de termes semblables
Pour tous nombres $ a $ et $ b $, et pour toute lettre $ x $ :
Exemple
Réduire les expressions suivantes :
- $ 5x + 3x = 8x $
- $ 7a - 2a = 5a $
- $ 9y + y = 10y $ (car $ y = 1y $)
Exemple
Réduire $ A = 3x + 5 + 2x + 1 $.
On regroupe les termes semblables :
$ A = 3x + 2x + 5 + 1 $
$ A = 5x + 6 $
Exemple
Réduire $ B = 4a + 3b + 2a + b $.
On regroupe les termes en $ a $ et les termes en $ b $ :
$ B = 4a + 2a + 3b + b $
$ B = 6a + 4b $
Attention
On ne peut additionner que des termes semblables. L'expression $ 3x + 2y $ ne peut pas se réduire davantage car $ x $ et $ y $ sont des parties littérales différentes.
De même, $ 5x + 3 $ ne peut pas se simplifier car $ 5x $ (terme en $ x $) et $ 3 $ (constante) ne sont pas semblables.
5 - Premières équations
Définition
Une équation est une égalité qui contient un nombre inconnu, désigné par une lettre (souvent $ x $) appelée l'inconnue. Résoudre l'équation, c'est trouver la valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie : cette valeur est la solution.
Résoudre avec l'opération réciproque
Pour trouver l'inconnue, on « remonte » le calcul à l'aide de l'opération réciproque :
- une équation du type $ x + b = c $ se résout en soustrayant $ b $ : $ x = c - b $ ;
- une équation du type $ a x = c $ se résout en divisant par $ a $ : $ x = c \div a $.
Exemple
Résoudre l'équation $ x + 7 = 19 $.
On cherche le nombre qui, ajouté à $ 7 $, donne $ 19 $ : on soustrait donc $ 7 $ aux deux membres.
Vérification : $ 12 + 7 = 19 $, l'égalité est vraie. La solution est $\mathbf{12}$.
Exemple
Résoudre l'équation $ 4x = 52 $.
On cherche le nombre qui, multiplié par $ 4 $, donne $ 52 $ : on divise donc par $ 4 $.
Vérification : $ 4 \times 13 = 52 $, l'égalité est vraie. La solution est $\mathbf{13}$.
Remarque
On termine toujours par une vérification : on remplace l'inconnue par la valeur trouvée et on contrôle que les deux membres de l'égalité sont égaux.
Les questions essentielles
1. Comment écrire une expression littérale ?
Repérer les grandeurs qui varient, leur associer une lettre, puis traduire les opérations décrites dans l'énoncé. Simplifier l'écriture en supprimant le signe $ \times $ devant les lettres et les parenthèses.
Voir la fiche méthode : Écrire une expression littérale
2. Comment calculer la valeur numérique d'une expression ?
Remplacer chaque lettre par le nombre donné, remettre les signes $ \times $ supprimés, puis effectuer les calculs en respectant les priorités opératoires.
Voir la fiche méthode : Calculer la valeur numérique d'une expression
3. Comment tester si une égalité est vraie ?
Calculer séparément le membre de gauche et le membre de droite pour la valeur donnée, puis comparer les deux résultats.
Voir la fiche méthode : Tester une égalité
4. Comment réduire une expression littérale ?
Repérer les termes semblables (ceux qui ont la même partie littérale), les regrouper, puis additionner leurs coefficients.
Voir la fiche méthode : Réduire une expression littérale