Priorités et distributivité
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteObjectifs du chapitre
1 - Vocabulaire des opérations
Définition
- Le résultat d'une addition est une somme. Les nombres additionnés sont les termes de la somme.
- Le résultat d'une soustraction est une différence. Les nombres de la soustraction sont aussi appelés termes.
- Le résultat d'une multiplication est un produit. Les nombres multipliés sont les facteurs du produit.
- Le résultat d'une division est un quotient. Dans la division de $ a $ par $ b $, $ a $ est le dividende et $ b $ le diviseur.
Exemple
- $ 25 + 3{,}5 = 28{,}5 $ est une somme. Les termes sont $ 25 $ et $ 3{,}5 $.
- $ 38{,}7 - 12{,}4 = 26{,}3 $ est une différence. Les termes sont $ 38{,}7 $ et $ 12{,}4 $.
- $ 7{,}3 \times 5 = 36{,}5 $ est un produit. Les facteurs sont $ 7{,}3 $ et $ 5 $.
- $ 27 \div 6 = 4{,}5 $ est un quotient. Le dividende est $ 27 $ et le diviseur est $ 6 $.
Nature d'une expression
Lorsqu'une expression comporte plusieurs opérations, sa nature est déterminée par la dernière opération effectuée (en respectant les priorités).
Exemple
- $ 3 + 5 \times 4 $ est une somme : la multiplication $ 5 \times 4 $ est prioritaire, la dernière opération effectuée est donc l'addition.
- $ 15 \times (5 - 2) $ est un produit : on effectue d'abord la parenthèse, la dernière opération effectuée est donc la multiplication.
2 - Carré et cube d'un nombre
Carré et cube
- Le carré d'un nombre est le produit de ce nombre par lui-même : $ a^2 = a \times a $. On lit « $ a $ au carré ».
- Le cube d'un nombre est le produit de ce nombre par lui-même trois fois de suite : $ a^3 = a \times a \times a $. On lit « $ a $ au cube ».
Exemple
- $ 5^2 = 5 \times 5 = 25 $
- $ 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 $
- $ 10^2 = 100 $ et $ 10^3 = 1\,000 $
- $ 1^3 = 1 $ et $ 0^2 = 0 $
Attention
Ne pas confondre $ a^2 $ (le carré, $ a \times a $) avec $ 2 \times a $. Par exemple $ 5^2 = 25 $ tandis que $ 2 \times 5 = 10 $.
3 - Calculs sans parenthèses
Propriété
Dans une expression sans parenthèses ne comportant que des additions et des soustractions, ou que des multiplications et des divisions, on effectue les calculs de gauche à droite.
Exemple
Calculer $ A = 11 - 7 + 5 - 1 $.
L'expression ne comporte que des additions et des soustractions. On calcule de gauche à droite :
$ A = 11 - 7 + 5 - 1 $
$ A = 4 + 5 - 1 $
$ A = 9 - 1 $
$ A = 8 $
Exemple
Calculer $ B = 35 \div 7 \times 6 \div 2 $.
L'expression ne comporte que des multiplications et des divisions. On calcule de gauche à droite :
$ B = 35 \div 7 \times 6 \div 2 $
$ B = 5 \times 6 \div 2 $
$ B = 30 \div 2 $
$ B = 15 $
Priorités de calcul
Dans une expression sans parenthèses, on respecte l'ordre de priorité suivant :
- d'abord les carrés et les cubes (les puissances) ;
- ensuite les multiplications et les divisions ;
- enfin les additions et les soustractions.
Exemple
Calculer $ E = 3 + 2 \times 5^2 $.
On calcule d'abord le carré, puis la multiplication, et enfin l'addition :
$ E = 3 + 2 \times 5^2 $
$ E = 3 + 2 \times 25 $
$ E = 3 + 50 $
$ E = 53 $
Exemple
Calculer $ C = 23 + 6 \times 4 $.
La multiplication est prioritaire. On la calcule en premier :
$ C = 23 + 6 \times 4 $
$ C = 23 + 24 $
$ C = 47 $
Exemple
Calculer $ D = 7 \times 8 - 12 \div 4 $.
La multiplication et la division sont toutes deux prioritaires. On les calcule en premier :
$ D = 7 \times 8 - 12 \div 4 $
$ D = 56 - 3 $
$ D = 53 $
Attention
Erreur classique : dans le calcul $ 3 + 5 \times 4 $, on ne calcule pas $ 3 + 5 = 8 $ en premier. La multiplication est prioritaire : $ 3 + 5 \times 4 = 3 + 20 = 23 $.
4 - Calculs avec des parenthèses
Propriété
Dans une expression comportant des parenthèses, on effectue d'abord les calculs entre parenthèses. À l'intérieur des parenthèses, on respecte les règles de priorité.
Si les parenthèses sont imbriquées, on commence par les parenthèses les plus intérieures.
Exemple
Calculer $ E = 9 \times (7 + 4) $.
On effectue d'abord le calcul entre parenthèses :
$ E = 9 \times (7 + 4) $
$ E = 9 \times 11 $
$ E = 99 $
Exemple
Calculer $ F = 2{,}5 \times [7 - (5 - 3)] $.
On commence par la parenthèse la plus intérieure $ (5 - 3) $ :
$ F = 2{,}5 \times [7 - (5 - 3)] $
$ F = 2{,}5 \times [7 - 2] $
$ F = 2{,}5 \times 5 $
$ F = 12{,}5 $
Exemple
Calculer $ G = [(4 \times (6 + 2)) - (6 \times 5)] \times 3 $.
On commence par les parenthèses les plus intérieures :
$ G = [(4 \times 8) - (6 \times 5)] \times 3 $
$ G = [32 - 30] \times 3 $
$ G = 2 \times 3 $
$ G = 6 $
Remarque
Les crochets $ [\ ] $ jouent le même rôle que les parenthèses. On les utilise pour mieux distinguer les différents niveaux d'imbrication.
5 - Écriture fractionnaire et priorités
Propriété
Lorsqu'un quotient est écrit sous forme fractionnaire, la barre de fraction joue le rôle de parenthèses : on calcule séparément le numérateur et le dénominateur avant d'effectuer la division.
Exemple
Calculer $ H = \dfrac{9 + 5}{7} $.
On calcule d'abord le numérateur :
$ H = \dfrac{9 + 5}{7} = \dfrac{14}{7} = 2 $
Exemple
Calculer $ I = \dfrac{28 + 14}{29 - 8} $.
On calcule séparément le numérateur et le dénominateur :
Numérateur : $ 28 + 14 = 42 $.
Dénominateur : $ 29 - 8 = 21 $.
$ I = \dfrac{42}{21} = 2 $
6 - Distributivité simple
Distributivité de la multiplication
Pour tous nombres $ k $, $ a $ et $ b $ :
Le facteur $ k $ est « distribué » à chacun des termes de la parenthèse.
Exemple
Développer $ 4 \times (6 + 8) $.
On distribue le facteur $ 4 $ :
$ 4 \times (6 + 8) = 4 \times 6 + 4 \times 8 = 24 + 32 = 56 $
Exemple
Factoriser $ 12 \times 5 + 12 \times 3 $.
On repère le facteur commun $ 12 $ :
$ 12 \times 5 + 12 \times 3 = 12 \times (5 + 3) = 12 \times 8 = 96 $
Application au calcul mental
La distributivité permet de simplifier certains calculs en décomposant un facteur en une somme ou une différence de nombres plus simples.
Exemple
Calculer mentalement $ 7 \times 23 $.
On décompose $ 23 = 20 + 3 $ :
$ 7 \times 23 = 7 \times (20 + 3) = 7 \times 20 + 7 \times 3 = 140 + 21 = 161 $
Exemple
Calculer mentalement $ 6 \times 98 $.
On décompose $ 98 = 100 - 2 $ :
$ 6 \times 98 = 6 \times (100 - 2) = 6 \times 100 - 6 \times 2 = 600 - 12 = 588 $
7 - Ordres de grandeur
Définition
Un ordre de grandeur d'un résultat est une valeur approchée simple, obtenue en arrondissant les nombres avant de calculer. Il permet de vérifier qu'un résultat est vraisemblable.
Exemple
Estimer l'ordre de grandeur de $ 49{,}3 \times 5{,}1 $.
On arrondit : $ 49{,}3 \approx 50 $ et $ 5{,}1 \approx 5 $.
L'ordre de grandeur est $ 50 \times 5 = 250 $.
Le résultat exact est $ 49{,}3 \times 5{,}1 = 251{,}43 $, ce qui est cohérent avec l'estimation.
Exemple
Un article coûte $ 19{,}90 $ euros. Estimer le prix de $ 8 $ articles identiques.
On arrondit : $ 19{,}90 \approx 20 $.
L'ordre de grandeur est $ 20 \times 8 = 160 $ euros.
On peut donc prévoir un budget d'environ $ 160 $ euros.
Attention
Un ordre de grandeur ne remplace pas le calcul exact. Il sert à détecter des erreurs grossières : si le résultat obtenu est très éloigné de l'estimation, il faut vérifier le calcul.
Les questions essentielles
1. Comment calculer une expression sans parenthèses ?
On effectue d'abord les multiplications et les divisions (elles sont prioritaires), puis les additions et les soustractions. S'il n'y a que des additions et des soustractions, on calcule de gauche à droite.
Voir la fiche méthode : Calculer une expression sans parenthèses
2. Comment calculer une expression avec des parenthèses ?
On effectue d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures. À l'intérieur des parenthèses, on respecte les règles de priorité habituelles.
Voir la fiche méthode : Calculer une expression avec des parenthèses
3. Comment calculer un quotient écrit sous forme fractionnaire ?
La barre de fraction joue le rôle de parenthèses. On calcule séparément le numérateur et le dénominateur, puis on effectue la division.
Voir la fiche méthode : Calculer un quotient sous forme fractionnaire
4. Comment utiliser la distributivité pour calculer mentalement ?
On décompose l'un des facteurs en une somme ou une différence de nombres simples, puis on distribue l'autre facteur. Par exemple : $ 7 \times 23 = 7 \times (20 + 3) = 140 + 21 = 161 $.
Voir la fiche méthode : Utiliser la distributivité pour calculer mentalement
5. Comment estimer un ordre de grandeur ?
On arrondit chaque nombre à une valeur simple, on effectue le calcul approché, puis on compare avec le résultat obtenu pour vérifier sa cohérence.
Voir la fiche méthode : Estimer un ordre de grandeur