Équations de droites
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1 - Équation réduite d’une droite
Propriété
Une droite du plan peut être caractérisée par une équation de la forme :
- $x=c$ si cette droite est parallèle à l’axe des ordonnées (« verticale »)
- $y=mx+p$ si cette droite n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées.
Dans le second cas, $m$ est appelé coefficient directeur et $p$ ordonnée à l’origine.
Exemple
Remarque
L’équation d’une droite peut s’écrire sous plusieurs formes. Par exemple $y=2x - 1$ est équivalente à $y - 2x+1=0$ ou $2y - 4x+2=0$, etc.
Les formes $x=c$ et $y=mx+p$ sont appelées équation réduite de la droite.
- Cette propriété indique que toute droite qui n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées est la représentation graphique d’une fonction affine. (Voir chapitre Fonctions linéaires et affines)
- Une droite parallèle à l’axe des abscisses a un coefficient directeur $m$ égal à zéro. Son équation est donc de la forme $y=p$. C’est la représentation graphique d’une fonction constante.
Propriété
Soient $A$ et $B$ deux points du plan tels que $x_A\neq x_B$.
Le coefficient directeur de la droite $\left(AB\right)$ est :
$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$
Remarque
Une fois que le coefficient directeur de la droite $\left(AB\right)$ est connu, on peut trouver l’ordonnée à l’origine en sachant que la droite $\left(AB\right)$ passe par le point $A$ donc que les coordonnées de $A$ vérifient l’équation de la droite.
Exemple
On recherche l’équation de la droite passant par les points $A\left(1 ; 3\right)$ et $B\left(3 ; 5\right)$.
Les points $A$ et $B$ n’ayant pas la même abscisse, cette équation est du type $y=mx+p$ avec :
$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}=\dfrac{5 - 3}{3 - 1}=\dfrac{2}{2}=1$
Donc l’équation de $\left(AB\right)$ est de la forme $y=x+p$. Comme cette droite passe par $A$, l’équation est vérifiée si on remplace $x$ et $y$ par les coordonnées de $A$ donc :
$3=1+p$ soit $p=2$.
L’équation de $\left(AB\right)$ est donc $y=x+2$.
2 - Droites parallèles et droites sécantes
Propriété
Deux droites d’équations respectives $y=mx+p$ et $y=m^{\prime}x+p^{\prime}$ sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur : $m=m^{\prime}$.
Exemple
Équations de droites parallèles
Méthode
Soient $\mathscr D$ et $\mathscr D^{\prime}$ deux droites sécantes d’équations respectives $y=mx+p$ et $y=m^{\prime}x+p^{\prime}$.
Les coordonnées $\left(x ; y\right)$ du point d’intersection des droites $\mathscr D$ et $\mathscr D^{\prime}$ s’obtiennent en résolvant le système :
$\left\{ \begin{matrix} y=mx+p \\ y=m^{\prime}x+p^{\prime} \end{matrix}\right.$
Remarque
Ce système se résout simplement par substitution. Il est équivalent à :
$\left\{ \begin{matrix} mx+p=m^{\prime}x+p^{\prime} \\ y=mx+p \end{matrix}\right.$
Exemple
On cherche les coordonnées du point d’intersection des droites $\mathscr D$ et $\mathscr D^{\prime}$ d’équations respectives $y=2x+1$ et $y=3x - 1$.
Ces droites n’ont pas le même coefficient directeur donc elles sont sécantes.
Les coordonnées du point d’intersection vérifient le système :
$\left\{ \begin{matrix} y=2x+1 \\ y=3x - 1 \end{matrix}\right.$
qui équivaut à :
$\left\{ \begin{matrix} y=2x+1 \\ y=3x - 1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x+1=3x - 1 \\ y=3x - 1 \end{matrix}\right.$
$\phantom{\left\{ \begin{matrix} y=2x+1 \\ y=3x - 1 \end{matrix}\right.} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=2 \\ y=3x - 1 \end{matrix}\right.$
$\phantom{\left\{ \begin{matrix} y=2x+1 \\ y=3x - 1 \end{matrix}\right.} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=2 \\ y=5 \end{matrix}\right.$
Le point d’intersection a pour coordonnées $\left(2 ; 5\right)$.
3 - Vecteur directeur d’une droite
Définition
On appelle vecteur directeur d’une droite $d$ tout vecteur $\overrightarrow{AB}$ où $A$ et $B$ sont deux points distincts de $d$.
Remarque
Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs : si $\vec{u}$ est un vecteur directeur de $d$, alors tout vecteur $k\vec{u}$ (avec $k \neq 0$) est aussi un vecteur directeur de $d$.
Exemple
Soit la droite $d$ passant par $A\left(1 ; 3\right)$ et $B\left(4 ; 5\right)$.
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées :
$\overrightarrow{AB}\left(4-1 ; 5-3\right) = \overrightarrow{AB}\left(3 ; 2\right)$
Le vecteur $\overrightarrow{AB}\left(3 ; 2\right)$ est un vecteur directeur de $d$.
Le vecteur $\vec{v}\left(6 ; 4\right) = 2\overrightarrow{AB}$ est aussi un vecteur directeur de $d$.
Propriété
Si $\vec{u}\left(a ; b\right)$ est un vecteur directeur d’une droite $d$ non parallèle à l’axe des ordonnées (c’est-à-dire $a \neq 0$), alors le coefficient directeur de $d$ est :
Exemple
La droite $d$ admet le vecteur directeur $\vec{u}\left(3 ; 2\right)$.
Son coefficient directeur est $m = \dfrac{2}{3}$.
4 - Équation cartésienne d’une droite
Théorème
Dans un repère orthonormé, les coordonnées des points $M\left(x ; y\right)$ d’une droite $d$ vérifient une relation de la forme :
où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels avec $\left(a ; b\right) \neq \left(0 ; 0\right)$.
Cette relation est appelée équation cartésienne de la droite $d$.
Démonstration au programme
Soient $P\left(x_P ; y_P\right)$ et $Q\left(x_Q ; y_Q\right)$ deux points d’une droite $d$.
Pour tout point $M\left(x ; y\right)$ appartenant à $d$, les vecteurs $\overrightarrow{PM}$ et $\overrightarrow{PQ}$ sont colinéaires, donc leur déterminant est nul :
$\det\left(\overrightarrow{PM} ; \overrightarrow{PQ}\right) = 0$
$\left(x - x_P\right)\left(y_Q - y_P\right) - \left(y - y_P\right)\left(x_Q - x_P\right) = 0$
En développant et en posant $a = y_Q - y_P$, $b = x_P - x_Q$ et $c = x_Q y_P - x_P y_Q$, on obtient :
Remarque
- Il existe une infinité d’équations cartésiennes pour une même droite. Par exemple, $2x + 3y - 6 = 0$ et $4x + 6y - 12 = 0$ représentent la même droite.
- Si $b \neq 0$, on peut passer de l’équation cartésienne à l’équation réduite : $y = -\dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b}$.
- Si $b = 0$, la droite est parallèle à l’axe des ordonnées et son équation est $x = -\dfrac{c}{a}$.
Propriété
Le vecteur $\vec{u}\left(-b ; a\right)$ est un vecteur directeur de la droite d’équation $ax + by + c = 0$.
Exemple
Soit la droite $d$ d’équation $2x + 3y - 6 = 0$.
On a $a = 2$ et $b = 3$, donc un vecteur directeur de $d$ est $\vec{u}\left(-3 ; 2\right)$.
Le coefficient directeur de $d$ est $m = \dfrac{2}{-3} = -\dfrac{2}{3}$.
L’équation réduite de $d$ est $y = -\dfrac{2}{3}x + 2$.
Exemple
Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par $A\left(2 ; 1\right)$ et $B\left(5 ; 4\right)$.
On calcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ :
$\overrightarrow{AB}\left(5-2 ; 4-1\right) = \overrightarrow{AB}\left(3 ; 3\right)$
Pour tout point $M\left(x ; y\right)$ de la droite $\left(AB\right)$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}\left(x-2 ; y-1\right)$ et $\overrightarrow{AB}\left(3 ; 3\right)$ sont colinéaires :
$\det\left(\overrightarrow{AM} ; \overrightarrow{AB}\right) = 0$
$\left(x-2\right) \times 3 - \left(y-1\right) \times 3 = 0$
$3x - 6 - 3y + 3 = 0$
$3x - 3y - 3 = 0$
En simplifiant par $3$ :
5 - Alignement de trois points
Propriété
Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, c’est-à-dire si et seulement si :
Exemple
On considère les points $A\left(1 ; 2\right)$, $B\left(4 ; 5\right)$ et $C\left(7 ; 8\right)$.
On calcule les coordonnées des vecteurs :
$\overrightarrow{AB}\left(3 ; 3\right)$ et $\overrightarrow{AC}\left(6 ; 6\right)$
$\det\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right) = 3 \times 6 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0$
Le déterminant est nul, donc les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
Exemple
On considère les points $D\left(1 ; 3\right)$, $E\left(4 ; 5\right)$ et $F\left(2 ; 1\right)$.
$\overrightarrow{DE}\left(3 ; 2\right)$ et $\overrightarrow{DF}\left(1 ; -2\right)$
$\det\left(\overrightarrow{DE} ; \overrightarrow{DF}\right) = 3 \times \left(-2\right) - 2 \times 1 = -6 - 2 = -8 \neq 0$
Le déterminant n’est pas nul, donc les points $D$, $E$ et $F$ ne sont pas alignés.
Les questions essentielles
1. Comment déterminer l’équation réduite d’une droite à partir de deux points ?
On calcule d’abord le coefficient directeur $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$, puis on détermine l’ordonnée à l’origine $p$ en utilisant les coordonnées de l’un des deux points.
Voir la fiche méthode : Déterminer l’équation réduite d’une droite
2. Comment déterminer une équation cartésienne d’une droite ?
On utilise la colinéarité : pour tout point $M$ de la droite passant par $A$ et $B$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires. On écrit que leur déterminant est nul, puis on développe.
Voir la fiche méthode : Déterminer une équation cartésienne d’une droite
3. Comment savoir si deux droites sont parallèles ou sécantes ?
On compare leurs coefficients directeurs (forme réduite) ou on calcule le déterminant de leurs vecteurs directeurs (forme cartésienne). Si les coefficients sont égaux (ou le déterminant nul), les droites sont parallèles.
Voir la fiche méthode : Déterminer si deux droites sont parallèles ou sécantes
4. Comment résoudre un système de deux équations à deux inconnues ?
On utilise la méthode par substitution : on exprime une inconnue en fonction de l’autre dans une équation, puis on remplace dans la seconde équation pour obtenir une équation à une seule inconnue.
Voir la fiche méthode : Résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues (par substitution)