Déterminer si deux droites sont parallèles ou sécantes
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Créer un compteMéthode : avec les équations réduites
Soient $d$ d'équation $y = mx + p$ et $d'$ d'équation $y = m'x + p'$.
- Étape 1 : Comparer les coefficients directeurs $m$ et $m'$.
Étape 2 : Conclure :
- Si $m = m'$ : les droites sont parallèles (confondues si de plus $p = p'$).
- Si $m \neq m'$ : les droites sont sécantes.
Droites parallèles (équations réduites)
Soit $d$ d'équation $y = 3x - 1$ et $d'$ d'équation $y = 3x + 5$.
Étape 1 : Les coefficients directeurs sont $m = 3$ et $m' = 3$.
Étape 2 : On a $m = m'$ donc les droites $d$ et $d'$ sont parallèles.
De plus, $p = -1 \neq 5 = p'$, donc elles sont strictement parallèles (non confondues).
Droites sécantes (équations réduites)
Soit $d$ d'équation $y = 2x + 3$ et $d'$ d'équation $y = -x + 6$.
Étape 1 : Les coefficients directeurs sont $m = 2$ et $m' = -1$.
Étape 2 : On a $m \neq m'$ donc les droites $d$ et $d'$ sont sécantes.
Pour trouver le point d'intersection, on résout $2x + 3 = -x + 6$ :
$3x = 3$
$x = 1$
$y = 2 \times 1 + 3 = 5$
Les droites se coupent au point de coordonnées $\left(1 ; 5\right)$.
Méthode : avec les équations cartésiennes
Soient $d$ d'équation $ax + by + c = 0$ et $d'$ d'équation $a'x + b'y + c' = 0$.
Un vecteur directeur de $d$ est $\vec{u}\left(-b ; a\right)$ et un vecteur directeur de $d'$ est $\vec{u'}\left(-b' ; a'\right)$.
Étape 1 : Calculer le déterminant des vecteurs directeurs :
$\det\left(\vec{u} ; \vec{u'}\right) = (-b) \times a' - a \times (-b') = a'b - ab'$Étape 2 : Conclure :
- Si $\det\left(\vec{u} ; \vec{u'}\right) = 0$ : les vecteurs sont colinéaires, les droites sont parallèles.
- Si $\det\left(\vec{u} ; \vec{u'}\right) \neq 0$ : les vecteurs ne sont pas colinéaires, les droites sont sécantes.
Droites parallèles (équations cartésiennes)
Soit $d$ d'équation $2x - 3y + 1 = 0$ et $d'$ d'équation $-4x + 6y - 5 = 0$.
Étape 1 : Les vecteurs directeurs sont :
$\vec{u}\left(3 ; 2\right)$ et $\vec{u'}\left(-6 ; -4\right)$
On calcule le déterminant :
$\det\left(\vec{u} ; \vec{u'}\right) = 3 \times (-4) - 2 \times (-6) = -12 + 12 = 0$
Étape 2 : Le déterminant est nul, donc les vecteurs directeurs sont colinéaires et les droites $d$ et $d'$ sont parallèles.
On remarque d'ailleurs que $\vec{u'} = -2\vec{u}$.
Droites sécantes (équations cartésiennes)
Soit $d$ d'équation $x + 2y - 4 = 0$ et $d'$ d'équation $3x - y + 1 = 0$.
Étape 1 : Les vecteurs directeurs sont :
$\vec{u}\left(-2 ; 1\right)$ et $\vec{u'}\left(1 ; 3\right)$
On calcule le déterminant :
$\det\left(\vec{u} ; \vec{u'}\right) = (-2) \times 3 - 1 \times 1 = -6 - 1 = -7 \neq 0$
Étape 2 : Le déterminant n'est pas nul, donc les droites $d$ et $d'$ sont sécantes.
Remarque
- Si l'une des droites est d'équation $x = c$ (parallèle à l'axe des ordonnées), elle est sécante à toute droite d'équation $y = mx + p$. Le point d'intersection a pour abscisse $c$.
- Si les deux droites sont sécantes et que l'on souhaite trouver le point d'intersection à partir des équations cartésiennes, il faut résoudre le système formé par les deux équations.
Attention
Ne pas confondre « parallèles » et « confondues ». Deux droites de même coefficient directeur et de même ordonnée à l'origine sont confondues (c'est la même droite). Deux droites de même coefficient directeur mais d'ordonnées à l'origine différentes sont strictement parallèles.