Orthogonalité et produit scalaire dans l’espace
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Créer un compteObjectifs du chapitre
- Calculer un produit scalaire dans l'espace
- Démontrer que des droites sont orthogonales dans l'espace
- Déterminer une équation cartésienne de plan
- Démontrer qu'une droite est perpendiculaire à un plan
- Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur un plan
- Calculer la distance d'un point à une droite dans l'espace
1. Produit scalaire
Deux vecteurs de l'espace sont toujours coplanaires (voir Droites et plans dans l'espace). On peut alors définir le produit scalaire dans l'espace à l'aide de la définition donnée en Première pour deux vecteurs d'un plan.
La plupart des propriétés vues en Première seront donc encore valables pour le produit scalaire dans l'espace, en particulier pour tous vecteurs $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ :
- $ \vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times \cos\left(\vec{u}, \vec{v}\right) $
- $ \vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{2} \left(||\vec{u}+\vec{v}||^{2} - ||\vec{u}||^{2} - ||\vec{v}||^{2}\right) $
- $ \vec{u}^{2} = ||\vec{u}||^{2} $
La notion d'orthogonalité de vecteurs vue en Première est encore valable dans l'espace. Pour tous vecteurs $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ : $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ sont orthogonaux $ \Leftrightarrow \vec{u}.\vec{v}=0 $
Les principales distinctions concernent les formules faisant intervenir les coordonnées puisque, dans l'espace, chaque vecteur possède trois coordonnées.
Propriété
L'espace est rapporté à un repère orthonormé $ \left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right) $
Soient $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ deux vecteurs de coordonnées respectives $ \left(x ; y ; z\right) $ et $ \left(x^{\prime} ; y^{\prime} ; z^{\prime}\right) $ dans ce repère. Alors :
Conséquences
- $ ||\vec{u}|| = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} $
- $ AB=||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{\left(x_{B} - x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B} - y_{A}\right)^{2}+\left(z_{B} - z_{A}\right)^{2}} $
2. Orthogonalité dans l'espace
Définition
Deux droites $ d_{1} $ et $ d_{2} $ sont orthogonales si et seulement si il existe une droite qui est à la fois parallèle à $ d_{1} $ et perpendiculaire à $ d_{2} $
$ d_{1} $ et $ d_{2} $ sont orthogonales
Remarque
Attention à ne pas confondre orthogonales et perpendiculaires. Le terme perpendiculaires s'emploie uniquement pour des droites sécantes (donc coplanaires).
Propriété
Soient deux droites $ d_{1} $ et $ d_{2} $, $ \overrightarrow{u_{1}} $ un vecteur directeur de $ d_{1} $ et $ \overrightarrow{u_{2}} $ un vecteur directeur de $ d_{2} $.
$ d_{1} $ et $ d_{2} $ sont orthogonales si et seulement si les vecteurs $ \overrightarrow{u_{1}} $ et $ \overrightarrow{u_{2}} $ sont orthogonaux, c'est à dire si et seulement si $ \overrightarrow{u_{1}}.\overrightarrow{u_{2}}=0 $
Définition (Droite perpendiculaire à un plan)
Une droite $ d $ est perpendiculaire (ou orthogonale) à un plan $ \mathscr P $ si et seulement si elle est orthogonale à toutes les droites incluses dans ce plan.
Droite perpendiculaire à un plan
Remarque
Une droite orthogonale à un plan coupe nécessairement ce plan en un point. Il n'y a donc plus lieu ici de distinguer orthogonalité et perpendicularité.
Propriété
La droite $ d $ est perpendiculaire au plan $ \mathscr P $ si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes incluses dans ce plan.
Définition (Plans perpendiculaires)
Deux plans $ \mathscr P_{1} $ et $ \mathscr P_{2} $ sont perpendiculaires (ou orthogonaux) si et seulement si $ \mathscr P_{1} $ contient une droite $ d $ perpendiculaire à $ \mathscr P_{2} $.
Remarque
Attention, cela ne signifie pas que toutes les droites de $ \mathscr P_{1} $ sont orthogonales à toutes les droites de $ \mathscr P_{2} $
Définition (Vecteur normal à un plan)
On dit qu'un vecteur $ \vec{n} $ non nul est un vecteur normal au plan $ \mathscr P $ si et seulement si la droite dirigée par $ \vec{n} $ est perpendiculaire au plan $ \mathscr P $.
Théorème
Soit $ \mathscr P $ un plan de vecteur normal $ \vec{n} $ et soit $ A $ un point de $ \mathscr P $.
Théorème
L'espace est rapporté à un repère orthonormé $ \left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right) $
Le plan $ \mathscr P $ de vecteur normal $ \vec{n} \left(a ; b; c\right) $ admet une équation cartésienne de la forme :
où $ a $, $ b $, $ c $ sont les coordonnées de $ \vec{n} $ et $ d $ un nombre réel.
Réciproquement, l'ensemble des points $ M\left(x ; y ; z\right) $ tels que $ ax+by+cz+d=0 $ ($ a, b, c, d $ étant des réels avec $ a\neq 0 $ ou $ b\neq 0 $ ou $ c\neq 0 $) est un plan dont un vecteur normal est $ \vec{n}\left(a ; b ; c\right) $.
Démonstration
Soit $ A\left(x_{A} ; y_{A} ; z_{A}\right) $ un point de $ \mathscr P $ :
$ M \in \mathscr P \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\vec{n} = 0 $
$ \phantom{M \in \mathscr P} \Leftrightarrow a\left(x - x_{A}\right)+b\left(y - y_{A}\right)+c\left(z - z_{A}\right)= 0 $
$ \phantom{M \in \mathscr P} \Leftrightarrow ax+by+cz - ax_{A} - by_{A} - cz_{A}= 0 $
et il suffit de poser $ d= - ax_{A} - by_{A} - cz_{A} $.
Réciproquement, supposons par exemple $ a\neq 0 $.
Soit $ A $ le point de coordonnées $ \left( - \dfrac{d}{a} ; 0 ;0\right) $ Les coordonnées de $ A $ vérifient :
$ ax_{A}+by_{A}+cz_{A}+d= 0 $.
On a alors $ d = - ax_{A} - by_{A} - cz_{A} $ donc :
$ ax+by+cz+d=0 \Leftrightarrow a\left(x - x_{A}\right)+b\left(y - y_{A}\right)+c\left(z - z_{A}\right)= 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\vec{n} = 0 $
donc $ M\left(x ; y ; z\right) $ appartient au plan passant par $ A $ et dont un vecteur normal est $ \vec{n}\left(a ; b ; c\right) $
Exemple
On cherche une équation cartésienne du plan passant par $ A\left(1 ; 3 ; - 2\right) $ et de vecteur normal $ \vec{n}\left(1 ; 1 ; 1\right) $.
Ce plan admet une équation cartésienne de la forme :
$ \left(E\right) x+y+z+d=0 $
Le point $ A\left(1 ; 3 ; - 2\right) $ appartient à ce plan, donc les coordonnées de $ A $ vérifient l'équation $ \left(E\right) $ :
$ 1+3 - 2+d=0 $ soit $ d= - 2 $
Une équation cartésienne du plan est donc :
$ \left(E\right) x+y+z - 2=0 $
Propriété
- Une droite $ d $ est parallèle à un plan $ \mathscr P $ si et seulement si un vecteur directeur de $ d $ est orthogonal à un vecteur normal de $ \mathscr P $.
- Une droite $ d $ est perpendiculaire à un plan $ \mathscr P $ si et seulement si un vecteur directeur de $ d $ est colinéaire à un vecteur normal de $ \mathscr P $.
- Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
- Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
3. Projeté orthogonal
Définition (Projeté orthogonal sur un plan)
Soit $ A $ un point de l'espace et $ \mathscr P $ un plan.
Le projeté orthogonal du point $ A $ sur le plan $ \mathscr P $ est le point $ H $ appartenant à $ \mathscr P $ tel que la droite $ (AH) $ soit perpendiculaire à $ \mathscr P $.
Définition (Projeté orthogonal sur une droite)
Soit $ A $ un point de l'espace et $ d $ une droite.
Le projeté orthogonal du point $ A $ sur la droite $ d $ est le point $ H $ appartenant à $ d $ tel que la droite $ (AH) $ soit perpendiculaire à $ d $.
Propriété
Le projeté orthogonal $ H $ d'un point $ A $ sur un plan $ \mathscr P $ est le point de $ \mathscr P $ le plus proche de $ A $.
La distance du point $ A $ au plan $ \mathscr P $ est la distance $ AH $.
Exemple
On considère le plan $ \mathscr P $ d'équation $ x + y + z - 2 = 0 $ et le point $ B\left(3 ; 1 ; 2\right) $.
Un vecteur normal à $ \mathscr P $ est $ \vec{n}\left(1 ; 1 ; 1\right) $.
La droite passant par $ B $ et de vecteur directeur $ \vec{n} $ a pour représentation paramétrique :
$ \begin{cases} x = 3 + t \\ y = 1 + t \\ z = 2 + t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} $
Le projeté orthogonal $ H $ de $ B $ sur $ \mathscr P $ est le point d'intersection de cette droite avec $ \mathscr P $.
On remplace dans l'équation du plan : $ (3+t) + (1+t) + (2+t) - 2 = 0 $, soit $ 3t + 4 = 0 $, d'où $ t = -\dfrac{4}{3} $.
On obtient $ H\left(\dfrac{5}{3} ; -\dfrac{1}{3} ; \dfrac{2}{3}\right) $.
La distance de $ B $ au plan $ \mathscr P $ est :
Les questions essentielles
1. Comment calculer un produit scalaire dans l'espace ?
Dans un repère orthonormé, on utilise la formule avec les coordonnées : si $ \vec{u}\left(x ; y ; z\right) $ et $ \vec{v}\left(x' ; y' ; z'\right) $, alors $ \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz' $. C'est la même formule qu'en Première, avec une troisième coordonnée.
Voir la fiche méthode : Calculer un produit scalaire dans l'espace
2. Comment démontrer que deux droites sont orthogonales ?
On calcule le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs. Si ce produit scalaire est nul, les droites sont orthogonales. Attention : dans l'espace, des droites orthogonales ne sont pas forcément sécantes (contrairement aux droites perpendiculaires).
Voir la fiche méthode : Démontrer que des droites sont orthogonales dans l'espace
3. Comment déterminer une équation cartésienne de plan ?
On utilise un vecteur normal $ \vec{n}\left(a ; b ; c\right) $ et un point $ A $ du plan. L'équation est de la forme $ ax + by + cz + d = 0 $, où $ d $ se détermine en substituant les coordonnées de $ A $.
Voir la fiche méthode : Déterminer une équation cartésienne de plan
4. Comment démontrer qu'une droite est perpendiculaire à un plan ?
Deux approches : montrer qu'un vecteur directeur de la droite est colinéaire au vecteur normal du plan, ou montrer que la droite est orthogonale à deux droites sécantes contenues dans le plan.
Voir la fiche méthode : Démontrer qu'une droite est perpendiculaire à un plan
5. Comment déterminer le projeté orthogonal d'un point sur un plan ?
On trace la droite passant par le point et dirigée par le vecteur normal au plan (représentation paramétrique). On cherche l'intersection de cette droite avec le plan en substituant dans l'équation cartésienne.
Voir la fiche méthode : Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur un plan
6. Comment calculer la distance d'un point à une droite dans l'espace ?
On détermine le projeté orthogonal du point sur la droite, puis la distance cherchée est la longueur entre le point et son projeté. La représentation paramétrique de la droite permet de localiser ce projeté.
Voir la fiche méthode : Calculer la distance d'un point à une droite dans l'espace