Déterminer le projeté orthogonal d’un point sur un plan
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Créer un compte1. Méthode
Projeté orthogonal d'un point sur un plan
Pour déterminer le projeté orthogonal $ H $ d'un point $ A $ sur un plan $ \mathscr P $ d'équation $ ax + by + cz + d = 0 $ :
- Relever le vecteur normal $ \vec{n}\left(a ; b ; c\right) $ du plan.
- Écrire la représentation paramétrique de la droite passant par $ A $ et dirigée par $ \vec{n} $ :
$ \begin{cases} x = x_{A} + at \\ y = y_{A} + bt \\ z = z_{A} + ct \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} $ - Substituer dans l'équation du plan pour trouver la valeur de $ t $.
- En déduire les coordonnées de $ H $.
2. Exemple
Exemple
On considère le plan $ \mathscr P $ d'équation $ 2x + y - 2z + 3 = 0 $ et le point $ A\left(1 ; 3 ; -1\right) $.
Étape 1 : Un vecteur normal à $ \mathscr P $ est $ \vec{n}\left(2 ; 1 ; -2\right) $.
Étape 2 : La droite passant par $ A $ et dirigée par $ \vec{n} $ a pour représentation paramétrique :
$ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = -1 - 2t \end{cases} $
Étape 3 : On substitue dans l'équation du plan :
$ 2(1 + 2t) + (3 + t) - 2(-1 - 2t) + 3 = 0 $
$ 2 + 4t + 3 + t + 2 + 4t + 3 = 0 $
$ 9t + 10 = 0 $
$ t = -\dfrac{10}{9} $
Étape 4 : On calcule les coordonnées de $ H $ :
$ x_{H} = 1 + 2 \times \left(-\dfrac{10}{9}\right) = 1 - \dfrac{20}{9} = -\dfrac{11}{9} $
$ y_{H} = 3 + \left(-\dfrac{10}{9}\right) = \dfrac{17}{9} $
$ z_{H} = -1 - 2 \times \left(-\dfrac{10}{9}\right) = -1 + \dfrac{20}{9} = \dfrac{11}{9} $
Le projeté orthogonal de $ A $ sur $ \mathscr P $ est $ H\left(-\dfrac{11}{9} ; \dfrac{17}{9} ; \dfrac{11}{9}\right) $.
3. Distance d'un point à un plan
Calculer la distance d'un point à un plan
La distance du point $ A $ au plan $ \mathscr P $ est la distance $ AH $ où $ H $ est le projeté orthogonal.
On peut soit calculer $ AH $ avec la formule de distance, soit utiliser la formule directe :
Exemple
Reprenons l'exemple précédent : $ \mathscr P $ : $ 2x + y - 2z + 3 = 0 $ et $ A\left(1 ; 3 ; -1\right) $.
On applique la formule :
$ d\left(A, \mathscr P\right) = \dfrac{|2 \times 1 + 1 \times 3 + (-2) \times (-1) + 3|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + (-2)^{2}}} $
$ d\left(A, \mathscr P\right) = \dfrac{|2 + 3 + 2 + 3|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \dfrac{10}{3} $
La distance de $ A $ au plan $ \mathscr P $ est $ \dfrac{10}{3} $.
Remarque
La formule directe de distance est plus rapide que le calcul complet du projeté orthogonal. Cependant, le projeté orthogonal est nécessaire lorsque l'on a besoin des coordonnées du point $ H $ lui-même.