Démontrer que des droites sont orthogonales dans l’espace
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compte1. Méthode générale
Démontrer l'orthogonalité de deux droites
Pour démontrer que deux droites $ d_{1} $ et $ d_{2} $ sont orthogonales dans l'espace :
- Déterminer un vecteur directeur $ \overrightarrow{u_{1}} $ de $ d_{1} $ et un vecteur directeur $ \overrightarrow{u_{2}} $ de $ d_{2} $.
- Calculer le produit scalaire $ \overrightarrow{u_{1}} \cdot \overrightarrow{u_{2}} $.
- Conclure : si $ \overrightarrow{u_{1}} \cdot \overrightarrow{u_{2}} = 0 $, alors $ d_{1} $ et $ d_{2} $ sont orthogonales.
Remarque
Attention à la distinction entre orthogonales et perpendiculaires :
- Deux droites perpendiculaires sont sécantes (coplanaires) et forment un angle droit.
- Deux droites orthogonales ont des vecteurs directeurs orthogonaux, mais ne sont pas nécessairement sécantes.
Deux droites perpendiculaires sont toujours orthogonales, mais la réciproque est fausse dans l'espace.
2. Exemple dans un cube
Exemple
On considère un cube $ ABCDEFGH $ d'arête 1. L'espace est muni du repère orthonormé $ \left(A ; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right) $.
On souhaite démontrer que les droites $ (AF) $ et $ (HC) $ sont orthogonales.
Les coordonnées des points sont :
$ A\left(0 ; 0 ; 0\right) $, $ F\left(1 ; 0 ; 1\right) $, $ H\left(0 ; 1 ; 1\right) $, $ C\left(1 ; 1 ; 0\right) $.
On détermine les vecteurs directeurs :
$ \overrightarrow{AF}\left(1 ; 0 ; 1\right) $ et $ \overrightarrow{HC}\left(1 ; 0 ; -1\right) $
On calcule le produit scalaire :
$ \overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{HC} = 1 \times 1 + 0 \times 0 + 1 \times (-1) = 1 + 0 - 1 = 0 $
Le produit scalaire est nul, donc les droites $ (AF) $ et $ (HC) $ sont orthogonales.
Remarque
Dans cet exemple, les droites $ (AF) $ et $ (HC) $ ne sont pas sécantes (elles ne se coupent pas). Elles sont donc orthogonales mais pas perpendiculaires. C'est une situation typique de la géométrie dans l'espace.