Déterminer une équation cartésienne de plan
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Créer un compte1. À partir d'un point et d'un vecteur normal
Équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur normal
Soit $ \mathscr P $ un plan de vecteur normal $ \vec{n}\left(a ; b ; c\right) $ passant par un point $ A\left(x_{A} ; y_{A} ; z_{A}\right) $.
- L'équation est de la forme $ ax + by + cz + d = 0 $ où $ a $, $ b $, $ c $ sont les coordonnées de $ \vec{n} $.
- On détermine $ d $ en substituant les coordonnées de $ A $ dans l'équation.
Exemple
On cherche une équation cartésienne du plan $ \mathscr P $ passant par $ A\left(2 ; -1 ; 3\right) $ et de vecteur normal $ \vec{n}\left(1 ; -2 ; 4\right) $.
Le plan $ \mathscr P $ admet une équation de la forme :
$ x - 2y + 4z + d = 0 $
Le point $ A\left(2 ; -1 ; 3\right) $ appartient à $ \mathscr P $, donc ses coordonnées vérifient l'équation :
$ 2 - 2 \times (-1) + 4 \times 3 + d = 0 $
$ 2 + 2 + 12 + d = 0 $
$ d = -16 $
Une équation cartésienne de $ \mathscr P $ est : $ x - 2y + 4z - 16 = 0 $
2. À partir de trois points non alignés
Équation cartésienne à partir de trois points
Soient $ A $, $ B $, $ C $ trois points non alignés définissant un plan $ \mathscr P $.
- Calculer deux vecteurs du plan : $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $.
- Déterminer un vecteur normal $ \vec{n}\left(a ; b ; c\right) $ en résolvant le système : $ \begin{cases} \vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \end{cases} $
- Choisir une valeur pour l'une des coordonnées et en déduire les autres.
- Déterminer $ d $ en substituant les coordonnées de $ A $.
Exemple
On cherche une équation cartésienne du plan $ \mathscr P $ passant par $ A\left(1 ; 0 ; 0\right) $, $ B\left(0 ; 2 ; 0\right) $ et $ C\left(0 ; 0 ; 3\right) $.
On calcule les vecteurs du plan :
$ \overrightarrow{AB}\left(-1 ; 2 ; 0\right) $ et $ \overrightarrow{AC}\left(-1 ; 0 ; 3\right) $
On cherche $ \vec{n}\left(a ; b ; c\right) $ tel que :
$ \begin{cases} \vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \end{cases} $ soit $ \begin{cases} -a + 2b = 0 \\ -a + 3c = 0 \end{cases} $
De la première équation : $ a = 2b $. De la seconde : $ a = 3c $.
On choisit $ a = 6 $, d'où $ b = 3 $ et $ c = 2 $. Un vecteur normal est $ \vec{n}\left(6 ; 3 ; 2\right) $.
L'équation est de la forme $ 6x + 3y + 2z + d = 0 $.
Le point $ A\left(1 ; 0 ; 0\right) $ appartient à $ \mathscr P $ : $ 6 \times 1 + d = 0 $, soit $ d = -6 $.
Une équation cartésienne de $ \mathscr P $ est : $ 6x + 3y + 2z - 6 = 0 $
Remarque
Vérification : on peut contrôler le résultat en substituant les coordonnées de $ B $ et $ C $ dans l'équation obtenue :
- $ B\left(0 ; 2 ; 0\right) $ : $ 6 \times 0 + 3 \times 2 + 2 \times 0 - 6 = 0 $
- $ C\left(0 ; 0 ; 3\right) $ : $ 6 \times 0 + 3 \times 0 + 2 \times 3 - 6 = 0 $
Remarque
Pour lire un vecteur normal à partir d'une équation cartésienne existante, il suffit de relever les coefficients : si l'équation du plan est $ ax + by + cz + d = 0 $, alors $ \vec{n}\left(a ; b ; c\right) $ est un vecteur normal.