Calculer un produit scalaire dans l’espace
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Créer un compte1. Produit scalaire avec les coordonnées
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $ \left(O ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right) $, le produit scalaire de deux vecteurs se calcule à l'aide de leurs coordonnées.
Calculer un produit scalaire
Soient $ \vec{u}\left(x ; y ; z\right) $ et $ \vec{v}\left(x' ; y' ; z'\right) $ deux vecteurs de l'espace :
Exemple
On considère les vecteurs $ \vec{u}\left(2 ; -1 ; 3\right) $ et $ \vec{v}\left(1 ; 4 ; -2\right) $.
On calcule le produit scalaire :
$ \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 1 + (-1) \times 4 + 3 \times (-2) $
$ \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 - 4 - 6 = -8 $
2. Norme d'un vecteur et distance entre deux points
Le produit scalaire d'un vecteur par lui-même donne le carré de sa norme. On en déduit deux formules essentielles.
Calculer une norme et une distance
- La norme d'un vecteur $ \vec{u}\left(x ; y ; z\right) $ est : $ ||\vec{u}|| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} $
- La distance entre deux points $ A\left(x_{A} ; y_{A} ; z_{A}\right) $ et $ B\left(x_{B} ; y_{B} ; z_{B}\right) $ est :
Exemple
On considère les points $ A\left(1 ; 3 ; -2\right) $ et $ B\left(4 ; 1 ; 2\right) $.
On calcule les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AB} $ :
$ \overrightarrow{AB}\left(4 - 1 ; 1 - 3 ; 2 - (-2)\right) = \overrightarrow{AB}\left(3 ; -2 ; 4\right) $
La distance $ AB $ est donc :
$ AB = ||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{3^{2} + (-2)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29} $
Remarque
Ces formules sont les mêmes qu'en Première dans le plan, avec une troisième coordonnée en plus. Elles ne sont valables que dans un repère orthonormé.