Démontrer qu’une droite est perpendiculaire à un plan
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Créer un compte1. En utilisant le vecteur normal
Vecteur directeur colinéaire au vecteur normal
Une droite $ d $ est perpendiculaire à un plan $ \mathscr P $ si et seulement si un vecteur directeur de $ d $ est colinéaire à un vecteur normal de $ \mathscr P $.
Pour le démontrer :
- Déterminer un vecteur directeur $ \vec{u} $ de la droite $ d $.
- Déterminer un vecteur normal $ \vec{n} $ au plan $ \mathscr P $.
- Montrer que $ \vec{u} $ et $ \vec{n} $ sont colinéaires (l'un est un multiple de l'autre).
Exemple
On considère le plan $ \mathscr P $ d'équation $ 2x - y + 3z - 1 = 0 $ et la droite $ d $ passant par $ M\left(1 ; 2 ; -1\right) $ de vecteur directeur $ \vec{u}\left(4 ; -2 ; 6\right) $.
Un vecteur normal à $ \mathscr P $ est $ \vec{n}\left(2 ; -1 ; 3\right) $.
On remarque que $ \vec{u}\left(4 ; -2 ; 6\right) = 2 \times \vec{n}\left(2 ; -1 ; 3\right) $.
Les vecteurs $ \vec{u} $ et $ \vec{n} $ sont colinéaires, donc la droite $ d $ est perpendiculaire au plan $ \mathscr P $.
2. En utilisant deux droites sécantes du plan
Orthogonalité à deux droites sécantes
Lorsqu'on ne dispose pas d'une équation cartésienne, on peut utiliser la propriété suivante :
Une droite $ d $ est perpendiculaire à un plan $ \mathscr P $ si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes contenues dans $ \mathscr P $.
Pour le démontrer :
- Identifier deux droites sécantes $ d_{1} $ et $ d_{2} $ contenues dans $ \mathscr P $.
- Montrer que $ d $ est orthogonale à $ d_{1} $ (produit scalaire nul).
- Montrer que $ d $ est orthogonale à $ d_{2} $ (produit scalaire nul).
Exemple
L'espace est muni du repère orthonormé $ \left(A ; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right) $ associé à un cube $ ABCDEFGH $ d'arête 1.
Soit $ I $ le milieu de $ [AB] $, $ J $ le milieu de $ [AD] $ et $ K $ le milieu de $ [AE] $. On souhaite démontrer que la grande diagonale $ (AG) $ est perpendiculaire au plan $ (IJK) $.
Les coordonnées sont : $ I\left(\dfrac{1}{2} ; 0 ; 0\right) $, $ J\left(0 ; \dfrac{1}{2} ; 0\right) $, $ K\left(0 ; 0 ; \dfrac{1}{2}\right) $, $ G\left(1 ; 1 ; 1\right) $.
Les droites $ (IJ) $ et $ (IK) $ sont sécantes en $ I $ et contenues dans le plan $ (IJK) $.
$ \overrightarrow{IJ}\left(-\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2} ; 0\right) $ et $ \overrightarrow{IK}\left(-\dfrac{1}{2} ; 0 ; \dfrac{1}{2}\right) $
On calcule les produits scalaires avec $ \overrightarrow{AG}\left(1 ; 1 ; 1\right) $ :
$ \overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{IJ} = 1 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) + 1 \times \dfrac{1}{2} + 1 \times 0 = 0 $
$ \overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{IK} = 1 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) + 1 \times 0 + 1 \times \dfrac{1}{2} = 0 $
Les deux produits scalaires sont nuls, donc la droite $ (AG) $ est perpendiculaire au plan $ (IJK) $.
Remarque
Cette méthode est souvent utilisée dans les problèmes de géométrie dans l'espace, notamment avec des figures classiques (cubes, pyramides). Lorsqu'on dispose de coordonnées, la première méthode (vecteur directeur colinéaire au vecteur normal) est généralement plus rapide.
3. Positions relatives — Résumé
Caractérisations avec les vecteurs
Soit $ d $ une droite de vecteur directeur $ \vec{u} $ et $ \mathscr P $ un plan de vecteur normal $ \vec{n} $.
- $ d $ est perpendiculaire à $ \mathscr P $ si et seulement si $ \vec{u} $ et $ \vec{n} $ sont colinéaires.
- $ d $ est parallèle à $ \mathscr P $ si et seulement si $ \vec{u} \cdot \vec{n} = 0 $.