Droites et plans dans l’espace
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Créer un compteObjectifs du chapitre
- Déterminer la position relative de deux droites dans l'espace
- Démontrer que deux plans sont parallèles
- Montrer que des vecteurs sont colinéaires dans l'espace
- Montrer que des vecteurs sont coplanaires
- Déterminer une représentation paramétrique d'une droite
- Déterminer une représentation paramétrique d'un plan
1. Rappels sur les droites et plans
Propriété
Par deux points distincts de l'espace, il passe une et une seule droite.
Remarque
Dans les exercices où l'on cherche à déterminer une droite (par exemple, pour tracer l'intersection de deux plans), il suffira donc de trouver deux points distincts qui appartiennent à cette droite.
Propriété
Par trois points distincts et non alignés de l'espace, il passe un et un seul plan.
Positions relatives de deux plans
Deux plans distincts de l'espace peuvent être :
- strictement parallèles : dans ce cas, ils n'ont aucun point commun
- sécants : dans ce cas, leur intersection est une droite
Positions relatives d'une droite et d'un plan
Soient $ \mathscr D $ une droite et $ \mathscr P $ un plan de l'espace.
La droite $ \mathscr D $ peut être :
- strictement parallèle au plan $ \mathscr P $ : dans ce cas, $ \mathscr D $ et $ \mathscr P $ n'ont aucun point commun
- sécante avec le plan $ \mathscr P $ : dans ce cas, $ \mathscr D $ et $ \mathscr P $ ont un unique point commun
- contenue dans le plan $ \mathscr P $
Positions relatives de deux droites
Soient $ \mathscr D $ et $ \mathscr D^{\prime} $ deux droites distinctes de l'espace.
Ces droites peuvent être :
- non coplanaires : dans ce cas, elles n'ont aucun point commun
- coplanaires, c'est-à-dire contenues dans un même plan ; elles peuvent alors être :
- strictement parallèles : dans ce cas, elles n'ont aucun point commun
- sécantes : dans ce cas, leur intersection est un point
2. Parallélisme
Propriété
Si un plan $ \mathscr P_{1} $ contient deux droites sécantes $ \mathscr D $ et $ \mathscr D^{\prime} $ parallèles à un plan $ \mathscr P_{2} $, alors le plan $ \mathscr P_{1} $ est parallèle au plan $ \mathscr P_{2} $.
Propriété
Si deux plans $ \mathscr P_{1} $ et $ \mathscr P_{2} $ sont parallèles, alors tout plan $ \mathscr P $ sécant à $ \mathscr P_{1} $ est sécant à $ \mathscr P_{2} $ et leurs intersections sont deux droites parallèles.
Propriété (Théorème du toit)
Si $ \mathscr P_{1} $ et $ \mathscr P_{2} $ sont deux plans sécants et si une droite $ \mathscr D_{1} $ incluse dans $ \mathscr P_{1} $ est parallèle à une droite $ \mathscr D_{2} $ incluse dans $ \mathscr P_{2} $ alors la droite $ \mathscr D $ intersection de $ \mathscr P_{1} $ et $ \mathscr P_{2} $ est parallèle à $ \mathscr D_{1} $ et $ \mathscr D_{2} $.
3. Vecteurs de l'espace
Définition (vecteurs colinéaires)
Soient $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ deux vecteurs non nuls de l'espace. On dit que les vecteurs $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel $ k $ tel que $ \vec{u}=k\vec{v} $.
Remarque
- Par convention, on considèrera que le vecteur nul $ \overrightarrow{0} $ est colinéaire à n'importe quel vecteur de l'espace
- Intuitivement, deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même «direction » (mais pas nécessairement le même «sens »). La notion de vecteurs colinéaires est à rapprocher de la notion de droites parallèles (voir théorème ci-dessous).
Propriété
Soient quatre points distincts $ A $, $ B $, $ C $ et $ D $.
Les droites $ \left(AB\right) $ et $ \left(CD\right) $ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{CD} $ sont colinéaires.
Propriété
Soient deux points distincts $ A $ et $ B $.
Un point $ M $ appartient à la droite $ \left(AB\right) $ si et seulement si les vecteurs $ \overrightarrow{AM} $ et $ \overrightarrow{AB} $ sont colinéaires.
Remarque
Le vecteur $ \overrightarrow{AB} $ où $ A $ et $ B $ sont deux points distincts de la droite $ \mathscr D $ est appelé vecteur directeur de $ \mathscr D $.
Définition (vecteurs coplanaires)
Soient $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ deux vecteurs non nuls et non colinéaires. On dit que le vecteur $ \vec{w} $ est coplanaire à $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ si et seulement s'il existe deux réels $ k $ et $ k^{\prime} $ tels que :
Remarque
Intuitivement, le fait que $ \vec{u} $, $ \vec{v} $ et $ \vec{w} $ soient coplanaires signifie que si on choisit quatre points $ O, A, B, C $ tels que $ \vec{u}=\overrightarrow{OA}, \vec{v}=\overrightarrow{OB} $ et $ \vec{w}=\overrightarrow{OC} $ alors les points $ O, A, B $ et $ C $ appartiennent à un même plan.
Sur la figure ci-dessus, $ \vec{w}=\dfrac{1}{2}\vec{u}+\vec{v} $- La définition précédente peut se généraliser à plus de trois vecteurs. Pour deux vecteurs, par contre, elle n'a guère d'intérêt car deux vecteurs sont toujours coplanaires
- Pour des vecteurs ou des points coplanaires, on peut se placer dans le plan contenant ces points ou ces vecteurs et appliquer les résultats classiques de géométrie plane (théorème des milieux, théorème de Thalès, relation de Chasles, etc.)
Combinaison linéaire
Soient $ \vec{u} $, $ \vec{v} $ et $ \vec{w} $ trois vecteurs de l'espace. Tout vecteur de la forme $ a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w} $, avec $ a $, $ b $ et $ c $ réels, est appelé combinaison linéaire des vecteurs $ \vec{u} $, $ \vec{v} $ et $ \vec{w} $.
Remarque
Dire que $ \vec{w} $ est coplanaire à $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ revient à dire que $ \vec{w} $ est combinaison linéaire de $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $.
Propriété
Soient $ A, B, C $ trois points non alignés.
Le point $ M $ appartient au plan $ \left(ABC\right) $ si et seulement si les vecteurs $ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} $ et $ \overrightarrow{AM} $ sont coplanaires, c'est-à-dire si et seulement s'il existe deux réels $ k $ et $ k^{\prime} $ tels que :
Remarque
Attention ! Notez que dans la propriété ci-dessus, tous les vecteurs ont la même origine $ A $.
Le fait que des vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{CD} $ soient coplanaires ne signifie pas que les points $ A, B, C, D $ soient coplanaires.
Par exemple, si on considère le cube ci-dessous, $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{FG} $ sont coplanaires (parce que $ \overrightarrow{FG}=\overrightarrow{AD} $ ou tout simplement parce que deux vecteurs sont toujours coplanaires !) mais les points $ A, B, F $ et $ G $ ne le sont pas.
4. Bases, repérage et représentations paramétriques
Base de l'espace
Soient $ \vec{i} $, $ \vec{j} $ et $ \vec{k} $ trois vecteurs non coplanaires de l'espace. Le triplet $ \left(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right) $ est appelé base de l'espace.
Propriété
Si $ \left(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right) $ est une base de l'espace, alors pour tout vecteur $ \vec{u} $ de l'espace, il existe un unique triplet de réels $ \left(a~; b~; c\right) $ tel que :
On dit que $ \vec{u} $ se décompose dans la base $ \left(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right) $.
Remarque
Cette propriété est fondamentale : elle signifie que tout vecteur de l'espace peut s'exprimer de façon unique comme combinaison linéaire de trois vecteurs non coplanaires.
Définition
Un repère de l'espace est un quadruplet $ \left(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right) $ où $ O $ est un point et $ \left(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right) $ une base de l'espace.
Définition
Pour tout point $ M $ de l'espace, il existe trois réels $ x, y $ et $ z $ tels que :
$ \left(x~; y~; z\right) $ s'appellent les coordonnées de $ M $ dans le repère $ \left(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right) $.
Remarque
- $ x, y $ et $ z $ s'appellent respectivement l'abscisse, l'ordonnée et la cote du point $ M $
- Comme dans le plan, on définit également les coordonnées d'un vecteur de la façon suivante :
les coordonnées du vecteur $ \vec{u} $ dans le repère $ \left(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right) $ sont les coordonnées du point $ M $ tel que $ \overrightarrow{OM}=\vec{u} $
Propriété
Pour tous points $ A \left(x_{A}~; y_{A}~; z_{A}\right) $ et $ B\left(x_{B}~; y_{B}~; z_{B}\right) $ :
- le vecteur $ \overrightarrow{AB} $ a pour coordonnées $ \left(x_{B} - x_{A}~; y_{B} - y_{A}~; z_{B} - z_{A}\right) $
- le point $ M $ milieu de $ \left[AB\right] $ a pour coordonnées $ \left(\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}~; \dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}~; \dfrac{z_{A}+z_{B}}{2} \right) $
Remarque
Les notions relatives aux repères orthonormés, distances, etc. sont abordées dans le chapitre «Orthogonalité et produit scalaire »
Théorème et définition (Représentation paramétrique d'une droite)
Un point $ M\left(x~; y~; z\right) $ appartient à la droite $ \mathscr D $ passant par $ A\left(x_{A}~; y_{A}~; z_{A}\right) $ et de vecteur directeur $ \vec{u}\left(a~; b~; c\right) $ si et seulement s'il existe un réel $ k $ tel que :
avec
Ce système est appelé représentation paramétrique de la droite $ \mathscr D $
Démonstration
Elle est immédiate en utilisant :
$ M\left(x~; y~; z\right) \in \mathscr D \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} $ et $ \vec{u} $ sont colinéaires$ \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=k\vec{u} $
Remarque
Une droite admet une infinité de représentations paramétriques
Exemple
La droite passant par l'origine et de vecteur directeur $ \vec{u}\left(1~; 1~; 1\right) $ a pour représentation paramétrique :
avec
Théorème et définition (Représentation paramétrique d'un plan)
Soient $ \mathscr P $ un plan passant par $ A\left(x_{A}~; y_{A}~; z_{A}\right) $ et $ \vec{u}\left(a~; b~; c\right) $ et $ \vec{u}^{\prime}\left(a^{\prime}~; b^{\prime}~; c^{\prime}\right) $ deux vecteurs non colinéaires de ce plan.
Un point $ M\left(x~; y~; z\right) $ appartient au plan $ \mathscr P $ si et seulement s'il existe deux réels $ k $ et $ k^{\prime} $ tels que :
avec
et
Ce système est appelé représentation paramétrique du plan $ \mathscr P $
Démonstration
On utilise le fait que :
$ M\left(x~; y~; z\right) \in \mathscr P \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} $ est coplanaire à $ \vec{u} $ et $ \vec{u}^{\prime} $ $ \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=k\vec{u}+k^{\prime}\vec{u}^{\prime} $
Remarque
Là encore, un plan admet une infinité de représentations paramétriques.
Exemple
Le plan $ \left(xOy\right) $ passe par l'origine et $ \vec{i}\left(1~; 0~; 0\right) $ et $ \vec{j}\left(0~; 1~; 0\right) $ sont deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Une représentation paramétrique du plan $ \left(xOy\right) $ est donc :
avec
Les questions essentielles
1. Comment déterminer la position relative de deux droites dans l'espace ?
On commence par tester la colinéarité des vecteurs directeurs. Si les vecteurs sont colinéaires, les droites sont parallèles (ou confondues). Sinon, on cherche un point d'intersection : s'il existe, les droites sont sécantes ; sinon, elles sont non coplanaires.
Voir la fiche méthode : Déterminer la position relative de deux droites dans l'espace
2. Comment démontrer que deux plans sont parallèles ?
Il faut trouver dans le premier plan deux droites sécantes, chacune parallèle à une droite du second plan. On utilise la colinéarité des vecteurs directeurs ou le théorème des milieux pour justifier les parallélismes.
Voir la fiche méthode : Démontrer que deux plans sont parallèles
3. Comment montrer que des vecteurs sont colinéaires dans l'espace ?
On cherche un réel $ k $ tel que $ \vec{u} = k\vec{v} $, c'est-à-dire que chaque coordonnée du premier vecteur soit $ k $ fois la coordonnée correspondante du second. Cela permet de prouver l'alignement de points ou le parallélisme de droites.
Voir la fiche méthode : Montrer que des vecteurs sont colinéaires dans l'espace
4. Comment montrer qu'un point appartient à un plan ?
On exprime le vecteur reliant un point du plan au point considéré comme combinaison linéaire de deux vecteurs directeurs du plan. Si la décomposition existe (système compatible), le point appartient au plan.
Voir la fiche méthode : Montrer que des vecteurs sont coplanaires
5. Comment déterminer une représentation paramétrique d'une droite ?
On identifie un point $ A $ de la droite et un vecteur directeur $ \vec{u} $, puis on écrit le système : $ x = x_A + at $, $ y = y_A + bt $, $ z = z_A + ct $ avec $ t \in \mathbb{R} $.
Voir la fiche méthode : Déterminer une représentation paramétrique d'une droite
6. Comment déterminer une représentation paramétrique d'un plan ?
On choisit un point $ A $ du plan et deux vecteurs directeurs non colinéaires $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $, puis on écrit le système à deux paramètres : $ x = x_A + as + a't $, $ y = y_A + bs + b't $, $ z = z_A + cs + c't $ avec $ (s, t) \in \mathbb{R}^2 $.
Voir la fiche méthode : Déterminer une représentation paramétrique d'un plan