Déterminer une représentation paramétrique d’une droite
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Pour déterminer une représentation paramétrique de la droite $ \mathscr D $ :
- Étape 1 : Identifier un point $ A\left(x_{A}~; y_{A}~; z_{A}\right) $ de la droite.
- Étape 2 : Déterminer un vecteur directeur $ \vec{u}\left(a~; b~; c\right) $ de la droite.
- Étape 3 : Écrire la représentation paramétrique :
Droite passant par deux points
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $ (AB) $ avec $ A\left(1~; -2~; 3\right) $ et $ B\left(4~; 1~; -1\right) $.
Étape 1 : On prend le point $ A\left(1~; -2~; 3\right) $.
Étape 2 : Un vecteur directeur est :
$ \overrightarrow{AB}\left(4-1~; 1-(-2)~; -1-3\right) = \overrightarrow{AB}\left(3~; 3~; -4\right) $
Étape 3 : Une représentation paramétrique de $ (AB) $ est :
On vérifie : pour $ t = 0 $, on obtient $ A\left(1~; -2~; 3\right) $; pour $ t = 1 $, on obtient $ B\left(4~; 1~; -1\right) $.
Droite passant par un point et de vecteur directeur donné
On considère la droite $ \mathscr D $ passant par $ C\left(0~; 5~; -2\right) $ et de vecteur directeur $ \vec{u}\left(2~; -1~; 3\right) $.
Étape 1 : Le point est $ C\left(0~; 5~; -2\right) $.
Étape 2 : Le vecteur directeur est $ \vec{u}\left(2~; -1~; 3\right) $.
Étape 3 : Une représentation paramétrique de $ \mathscr D $ est :
Le point $ M\left(6~; 2~; 7\right) $ appartient-il à $ \mathscr D $ ? On résout $ 2t = 6 $, donc $ t = 3 $. Vérification : $ 5 - 3 = 2 $ et $ -2 + 9 = 7 $. Les trois équations sont vérifiées pour $ t = 3 $, donc $ M \in \mathscr D $.
Remarque
Une droite admet une infinité de représentations paramétriques. En choisissant un autre point de la droite ou un autre vecteur directeur (par exemple $ 2\vec{u} $ au lieu de $ \vec{u} $), on obtient une représentation paramétrique différente mais qui décrit la même droite.
Attention
Pour vérifier qu'un point $ M $ appartient à la droite, il faut trouver une même valeur du paramètre $ t $ qui satisfait les trois équations simultanément. Si les valeurs de $ t $ obtenues sont différentes selon les équations, le point n'appartient pas à la droite.