Démontrer que deux plans sont parallèles
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Si un plan $ \mathscr P_{1} $ contient deux droites sécantes $ \mathscr D $ et $ \mathscr D^{\prime} $ respectivement parallèles à deux droites contenues dans un plan $ \mathscr P_{2} $, alors les plans $ \mathscr P_{1} $ et $ \mathscr P_{2} $ sont parallèles.
Méthode
Pour démontrer que deux plans $ \mathscr P_{1} $ et $ \mathscr P_{2} $ sont parallèles :
- Étape 1 : Identifier deux droites $ \mathscr D $ et $ \mathscr D^{\prime} $ sécantes contenues dans $ \mathscr P_{1} $.
- Étape 2 : Montrer que $ \mathscr D $ est parallèle à une droite de $ \mathscr P_{2} $ (en utilisant la colinéarité des vecteurs directeurs ou un théorème connu).
- Étape 3 : Montrer de même que $ \mathscr D^{\prime} $ est parallèle à une droite de $ \mathscr P_{2} $.
- Étape 4 : Conclure que $ \mathscr P_{1} $ et $ \mathscr P_{2} $ sont parallèles.
Plans parallèles dans un cube
On considère le cube $ ABCDEFGH $. Démontrer que les plans $ (EFB) $ et $ (HGD) $ sont parallèles.
Étape 1 : Dans le plan $ (EFB) $, les droites $ (EF) $ et $ (BF) $ sont sécantes en $ F $.
Étape 2 : On montre que $ (EF) $ est parallèle à une droite de $ (HGD) $.
$ \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{HG} $ (arêtes opposées du cube), donc $ (EF) /\!/ (HG) $.
Or $ (HG) $ est contenue dans $ (HGD) $.
Étape 3 : On montre que $ (BF) $ est parallèle à une droite de $ (HGD) $.
$ \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{DH} $ (arêtes latérales du cube), donc $ (BF) /\!/ (DH) $.
Or $ (DH) $ est contenue dans $ (HGD) $.
Étape 4 : Le plan $ (EFB) $ contient deux droites sécantes $ (EF) $ et $ (BF) $ respectivement parallèles à $ (HG) $ et $ (DH) $ contenues dans $ (HGD) $.
Donc les plans $ (EFB) $ et $ (HGD) $ sont parallèles.
Plans parallèles dans un tétraèdre (milieux)
Soit $ ABCD $ un tétraèdre. On note $ I $ le milieu de $ [AB] $, $ J $ le milieu de $ [AC] $ et $ K $ le milieu de $ [AD] $. Démontrer que les plans $ (IJK) $ et $ (BCD) $ sont parallèles.
Étape 1 : Dans le plan $ (IJK) $, les droites $ (IJ) $ et $ (IK) $ sont sécantes en $ I $.
Étape 2 : Dans le triangle $ ABC $, $ I $ est le milieu de $ [AB] $ et $ J $ est le milieu de $ [AC] $. D'après le théorème des milieux, $ (IJ) /\!/ (BC) $.
Or $ (BC) $ est contenue dans $ (BCD) $.
Étape 3 : Dans le triangle $ ABD $, $ I $ est le milieu de $ [AB] $ et $ K $ est le milieu de $ [AD] $. D'après le théorème des milieux, $ (IK) /\!/ (BD) $.
Or $ (BD) $ est contenue dans $ (BCD) $.
Étape 4 : Le plan $ (IJK) $ contient deux droites sécantes $ (IJ) $ et $ (IK) $ respectivement parallèles à $ (BC) $ et $ (BD) $ contenues dans $ (BCD) $.
Donc les plans $ (IJK) $ et $ (BCD) $ sont parallèles.
Remarque
La réciproque est utile : si deux plans $ \mathscr P_{1} $ et $ \mathscr P_{2} $ sont parallèles, alors tout plan $ \mathscr P $ sécant à $ \mathscr P_{1} $ est sécant à $ \mathscr P_{2} $ et les droites d'intersection sont parallèles. Ce résultat permet de démontrer des parallélismes de droites.
Attention
Il ne suffit pas de trouver une seule droite de $ \mathscr P_{1} $ parallèle à $ \mathscr P_{2} $ pour conclure. Il faut impérativement deux droites sécantes. Un plan peut contenir une droite parallèle à un autre plan sans lui être parallèle (il peut être sécant à l'autre plan).