Montrer que des vecteurs sont colinéaires dans l’espace
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Deux vecteurs $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ (avec $ \vec{v} \neq \vec{0} $) sont colinéaires s'il existe un réel $ k $ tel que $ \vec{u} = k\vec{v} $.
Méthode
Pour montrer que deux vecteurs sont colinéaires :
- Étape 1 : Exprimer les deux vecteurs dans une même base ou en fonction de vecteurs connus.
- Étape 2 : Chercher un réel $ k $ tel que $ \vec{u} = k\vec{v} $ (chaque coordonnée du premier vecteur est $ k $ fois la coordonnée correspondante du second).
- Étape 3 : Conclure selon le contexte : alignement de points, parallélisme de droites, ou appartenance d'un point à une droite.
Montrer que trois points sont alignés
Dans un repère $ \left(O~;~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right) $, on considère les points $ A\left(1~; 2~; -1\right) $, $ B\left(3~; 6~; -5\right) $ et $ C\left(2~; 4~; -3\right) $. Montrer que $ A $, $ B $ et $ C $ sont alignés.
Étape 1 : On calcule les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $.
$ \overrightarrow{AB}\left(3-1~; 6-2~; -5-(-1)\right) = \overrightarrow{AB}\left(2~; 4~; -4\right) $
$ \overrightarrow{AC}\left(2-1~; 4-2~; -3-(-1)\right) = \overrightarrow{AC}\left(1~; 2~; -2\right) $
Étape 2 : On cherche $ k $ tel que $ \overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AC} $.
$ 2 = k \times 1 $, donc $ k = 2 $
Vérification : $ 4 = 2 \times 2 $ et $ -4 = 2 \times (-2) $.
Les trois rapports sont égaux à $ 2 $, donc $ \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AC} $.
Étape 3 : Les vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $ sont colinéaires, donc les points $ A $, $ B $ et $ C $ sont alignés.
Montrer que deux droites sont parallèles
Dans un cube $ ABCDEFGH $, on pose $ \vec{i} = \overrightarrow{AB} $, $ \vec{j} = \overrightarrow{AD} $ et $ \vec{k} = \overrightarrow{AE} $. Soit $ M $ le milieu de $ [EF] $ et $ N $ le milieu de $ [HG] $. Montrer que $ (MN) $ est parallèle à $ (AD) $.
Étape 1 : On exprime les vecteurs dans la base $ \left(\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right) $.
$ M $ est le milieu de $ [EF] $, donc $ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AE} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{EF} = \vec{k} + \dfrac{1}{2}\vec{i} $
$ N $ est le milieu de $ [HG] $, donc $ \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{HG} = \vec{j} + \vec{k} + \dfrac{1}{2}\vec{i} $
Donc $ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} = \vec{j} $.
Étape 2 : Un vecteur directeur de $ (AD) $ est $ \overrightarrow{AD} = \vec{j} $.
On a $ \overrightarrow{MN} = 1 \times \vec{j} = 1 \times \overrightarrow{AD} $.
Étape 3 : Les vecteurs $ \overrightarrow{MN} $ et $ \overrightarrow{AD} $ sont colinéaires, donc $ (MN) /\!/ (AD) $.
Remarque
En coordonnées, deux vecteurs $ \vec{u}\left(a~; b~; c\right) $ et $ \vec{v}\left(a^{\prime}~; b^{\prime}~; c^{\prime}\right) $ sont colinéaires si et seulement si :
(à condition que les dénominateurs soient non nuls ; si une coordonnée de $ \vec{v} $ est nulle, la coordonnée correspondante de $ \vec{u} $ doit aussi être nulle).
Attention
Pour montrer que trois points $ A $, $ B $, $ C $ sont alignés, il faut montrer que $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $ sont colinéaires (vecteurs ayant la même origine). Il ne suffit pas de montrer que $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{BC} $ sont colinéaires, même si cela fonctionne aussi.