Déterminer une représentation paramétrique d’un plan
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Pour déterminer une représentation paramétrique du plan $ \mathscr P $ :
- Étape 1 : Identifier un point $ A\left(x_{A}~; y_{A}~; z_{A}\right) $ du plan.
- Étape 2 : Déterminer deux vecteurs directeurs $ \vec{u}\left(a~; b~; c\right) $ et $ \vec{v}\left(a^{\prime}~; b^{\prime}~; c^{\prime}\right) $ non colinéaires du plan.
- Étape 3 : Écrire la représentation paramétrique :
Plan défini par trois points
Déterminer une représentation paramétrique du plan $ (ABC) $ avec $ A\left(1~; 0~; 2\right) $, $ B\left(3~; 1~; 0\right) $ et $ C\left(0~; 2~; 1\right) $.
Étape 1 : On prend le point $ A\left(1~; 0~; 2\right) $.
Étape 2 : On calcule deux vecteurs directeurs.
$ \overrightarrow{AB}\left(2~; 1~; -2\right) $ et $ \overrightarrow{AC}\left(-1~; 2~; -1\right) $
Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (il n'existe pas de réel $ k $ tel que $ \left(2~; 1~; -2\right) = k\left(-1~; 2~; -1\right) $).
Étape 3 : Une représentation paramétrique du plan $ (ABC) $ est :
Vérification : pour $ s = 0, t = 0 $, on retrouve $ A $. Pour $ s = 1, t = 0 $, on retrouve $ B\left(3~; 1~; 0\right) $. Pour $ s = 0, t = 1 $, on retrouve $ C\left(0~; 2~; 1\right) $.
Plan contenant une droite et un point extérieur
On considère la droite $ \mathscr D $ de représentation paramétrique $ \left\{\begin{matrix} x = 2 + k \\ y = 1 - k \\ z = 3k \end{matrix}\right. $ et le point $ P\left(0~; 0~; 1\right) $ qui n'appartient pas à $ \mathscr D $.
Déterminer une représentation paramétrique du plan $ \mathscr P $ contenant $ \mathscr D $ et $ P $.
Étape 1 : On choisit un point de $ \mathscr D $ : pour $ k = 0 $, on obtient $ A\left(2~; 1~; 0\right) $.
Étape 2 : Un vecteur directeur de $ \mathscr D $ est $ \vec{u}\left(1~; -1~; 3\right) $ (lu dans la représentation paramétrique).
Le second vecteur directeur est $ \overrightarrow{AP}\left(-2~; -1~; 1\right) $.
Vérifions qu'ils ne sont pas colinéaires : $ \dfrac{-2}{1} = -2 $ et $ \dfrac{-1}{-1} = 1 $. Comme $ -2 \neq 1 $, les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Étape 3 : Une représentation paramétrique du plan $ \mathscr P $ est :
Remarque
Comme pour les droites, un plan admet une infinité de représentations paramétriques. On peut choisir n'importe quel point du plan et n'importe quel couple de vecteurs directeurs non colinéaires du plan.
Attention
Les deux vecteurs directeurs choisis doivent être non colinéaires. Sinon, la représentation paramétrique ne décrit qu'une droite et non un plan. Toujours vérifier la non-colinéarité avant de conclure.