Montrer que des vecteurs sont coplanaires
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Soient $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ deux vecteurs non colinéaires. Le vecteur $ \vec{w} $ est coplanaire à $ \vec{u} $ et $ \vec{v} $ s'il existe deux réels $ a $ et $ b $ tels que :
Méthode
Pour montrer qu'un point $ M $ appartient au plan $ (ABC) $ (où $ A $, $ B $, $ C $ sont non alignés) :
- Étape 1 : Exprimer $ \overrightarrow{AM} $ en fonction des vecteurs connus.
- Étape 2 : Chercher deux réels $ \alpha $ et $ \beta $ tels que $ \overrightarrow{AM} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC} $.
- Étape 3 : Si de tels réels existent, alors $ \overrightarrow{AM} $, $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $ sont coplanaires, donc $ M $ appartient au plan $ (ABC) $.
Montrer qu'un point appartient à un plan
Dans un repère $ \left(O~;~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right) $, on considère $ A\left(1~; 0~; 2\right) $, $ B\left(3~; 1~; 0\right) $, $ C\left(0~; 2~; 1\right) $ et $ M\left(5~; 2~; -2\right) $. Montrer que $ M $ appartient au plan $ (ABC) $.
Étape 1 : On calcule les vecteurs.
$ \overrightarrow{AB}\left(2~; 1~; -2\right) $
$ \overrightarrow{AC}\left(-1~; 2~; -1\right) $
$ \overrightarrow{AM}\left(4~; 2~; -4\right) $
Étape 2 : On cherche $ \alpha $ et $ \beta $ tels que $ \overrightarrow{AM} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC} $.
Cela revient à résoudre le système :
$ 2\alpha - \beta = 4 $
$ \alpha + 2\beta = 2 $
$ -2\alpha - \beta = -4 $
De la première équation : $ \beta = 2\alpha - 4 $.
En substituant dans la deuxième : $ \alpha + 2(2\alpha - 4) = 2 $, soit $ 5\alpha = 10 $, d'où $ \alpha = 2 $.
Donc $ \beta = 2 \times 2 - 4 = 0 $.
Vérification avec la troisième équation : $ -2 \times 2 - 0 = -4 $, c'est bien vérifié.
Étape 3 : On a $ \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} + 0 \cdot \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB} $, donc $ \overrightarrow{AM} $ est combinaison linéaire de $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $.
Le point $ M $ appartient donc au plan $ (ABC) $.
Montrer qu'un point n'appartient pas à un plan
Avec les mêmes points $ A\left(1~; 0~; 2\right) $, $ B\left(3~; 1~; 0\right) $ et $ C\left(0~; 2~; 1\right) $, montrer que $ P\left(2~; 1~; 1\right) $ n'appartient pas au plan $ (ABC) $.
Étape 1 : On calcule :
$ \overrightarrow{AB}\left(2~; 1~; -2\right) $, $ \overrightarrow{AC}\left(-1~; 2~; -1\right) $, $ \overrightarrow{AP}\left(1~; 1~; -1\right) $
Étape 2 : On cherche $ \alpha $ et $ \beta $ tels que $ \overrightarrow{AP} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC} $.
$ 2\alpha - \beta = 1 $
$ \alpha + 2\beta = 1 $
$ -2\alpha - \beta = -1 $
De la première : $ \beta = 2\alpha - 1 $.
Dans la deuxième : $ \alpha + 2(2\alpha - 1) = 1 $, soit $ 5\alpha = 3 $, d'où $ \alpha = \dfrac{3}{5} $.
Donc $ \beta = \dfrac{6}{5} - 1 = \dfrac{1}{5} $.
Vérification avec la troisième : $ -\dfrac{6}{5} - \dfrac{1}{5} = -\dfrac{7}{5} \neq -1 $.
Le système est incompatible.
Étape 3 : Le vecteur $ \overrightarrow{AP} $ ne peut pas s'écrire comme combinaison linéaire de $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $. Le point $ P $ n'appartient pas au plan $ (ABC) $.
Remarque
La vérification avec la troisième équation est indispensable. Les deux premières équations donnent toujours des valeurs de $ \alpha $ et $ \beta $ (si le système $ 2 \times 2 $ est déterminé), mais c'est la compatibilité avec la troisième qui confirme ou infirme la coplanarité.
Attention
Il faut que les trois vecteurs $ \overrightarrow{AM} $, $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $ aient la même origine $ A $. Si on travaille avec des vecteurs d'origines différentes, il faut d'abord les ramener à la même origine en utilisant la relation de Chasles.