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Les suites Exercices

Suites – Bac ES/L Polynésie 2013

Durée estimée
15 minutes
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Objectifs travaillés

La production des perles de culture de Tahiti est une activité économique importante pour la Polynésie Française.

Les montants réalisés à l'exportation des produits perliers de 2008 à 2011 sont donnés dans le tableau suivant, en milliers d'euros :

Années 2008 2009 2010 2011
Valeurs brutes des produits perliers (en milliers d'euros) 81295 66052 64690 63182

Source : ISPF ((Institut de Statistiques de Polynésie Française)

    1. Montrer que le taux d'évolution annuel moyen des montants à l'exportation des produits perliers de Polynésie entre 2008 et 2011 est $ - 8{,}06\% $ arrondi au centième. On admet pour la suite de l'exercice, que la production continuera à baisser de 8% par an à partir de 2011.

    2. On considère l'algorithme suivant :

      Entrée : Saisir un nombre positif P
      Traitement : Affecter la valeur 0 à la variable N (initialisation)
        Affecter la valeur 63182 à U (initialisation)
        Tant que U > P
        $ \quad $Affecter la valeur N+1 à N
        $ \quad $Affecter la valeur 0,92$ \times $U à U
        Fin de Tant que
        Affecter la valeur N+2011 à N
      Sortie : Afficher N

      Si on saisit $ P=50\,000 $ en entrée, qu'obtient-on en sortie par cet algorithme ? Interpréter ce résultat dans le contexte de la production de perles

  2. Pour prévoir les montants réalisés à l'exportation des perles de Tahiti, on modélise la situation par une suite $ \left(u_{n}\right) $. On note $ u_{0} $ le montant en 2011, en milliers d'euros, et $ u_{n} $ le montant en $ 2011+n $, en milliers d'euros. On a donc $ u_{0}=63\,182 $ et on suppose que la valeur baisse tous les ans de 8%.

    1. Montrer que $ \left(u_{n}\right) $ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
    2. Exprimer, pour tout entier naturel $ n $, $ u_{n} $ en fonction de $ n $.
    3. Avec ce modèle, quel montant peut-on prévoir pour l'exportation des produits perliers de Polynésie Française en 2016 ? On arrondira le résultat au millier d'euros
  3. Calculer le montant cumulé des produits perliers exportés que l'on peut prévoir avec ce modèle à partir de 2011 (comprise) jusqu'à 2020 (comprise). On donnera une valeur approchée au millier d'euros.

Corrigé

    1. Le taux d'évolution global entre 2008 et 2011 est :

      $ T = \dfrac{V_{2011} - V_{2008}}{V_{2008}} = \dfrac{63182 - 81295}{81295} \approx -0{,}2228 $

      Soit un coefficient multiplicateur global de $ CM = 1 + T = 0{,}7772 $.
      Il s'est écoulé $ n = 3 $ années entre 2008 et 2011.
      Le taux d'évolution annuel moyen $ t_m $ vérifie :

      $ (1 + t_m)^3 = 0{,}7772 $

      D'où :

      $ 1 + t_m = 0{,}7772^{1/3} \approx 0{,}9194 $

      On en déduit le taux moyen :

      $ t_m \approx 0{,}9194 - 1 \approx -0{,}0806 $

      Le taux d'évolution annuel moyen est donc bien d'environ $ -8{,}06\% $.

    2. Traçons l'exécution de l'algorithme pour $ P = 50\,000 $ :

      • Initialisation : $ N = 0 $ et $ U = 63182 $.
      • 1ère itération : $ U = 63182 > 50000 $. On a $ N = 1 $ et $ U = 0{,}92 \times 63182 \approx 58127{,}4 $.
      • 2ème itération : $ U = 58127{,}4 > 50000 $. On a $ N = 2 $ et $ U = 0{,}92 \times 58127{,}4 \approx 53477{,}2 $.
      • 3ème itération : $ U = 53477{,}2 > 50000 $. On a $ N = 3 $ et $ U = 0{,}92 \times 53477{,}2 \approx 49199{,}1 $.
      • Fin de la boucle car $ U \le 50000 $.
      • Sortie : $ N = 3 + 2011 = 2014 $.

      L'algorithme affiche $ 2014 $.
      Cela signifie que c'est en 2014 que le montant des exportations passera pour la première fois en dessous de 50 000 milliers d'euros.

    1. Chaque année, la valeur baisse de 8%, ce qui revient à multiplier par $ 1 - 0{,}08 = 0{,}92 $.
      On a donc pour tout entier $ n $, $ u_{n+1} = 0{,}92 u_n $.
      $ (u_n) $ est donc une suite géométrique de raison $ q = 0{,}92 $ et de premier terme $ u_0 = 63182 $.

    2. D'après la formule du cours pour les suites géométriques :

      $ u_n = u_0 \times q^n = 63182 \times 0{,}92^n $

    3. En 2016, on a $ n = 2016 - 2011 = 5 $.

      $ u_5 = 63182 \times 0{,}92^5 \approx 41642{,}1 $

      Le montant prévu pour 2016 est de $ 41\,642 $ milliers d'euros.

  3. Le montant cumulé entre 2011 (inclus) et 2020 (inclus) correspond à la somme des termes de $ u_0 $ à $ u_9 $ (car $ 2020 = 2011 + 9 $).

    $ S = u_0 + u_1 + \dots + u_9 = u_0 \times \dfrac{1 - q^{10}}{1 - q} $
    $ S = 63182 \times \dfrac{1 - 0{,}92^{10}}{1 - 0{,}92} \approx 63182 \times \dfrac{1 - 0{,}434388}{0{,}08} \approx 446703 $

    Le montant cumulé est d'environ $ 446\,703 $ milliers d'euros.