Probabilités – Bac ES/L Polynésie 2013

1. D'après l'énoncé, 12% des clients ont choisi la formule « avion+hôtel » et l'option « visites guidées ».
   Cela correspond à l'événement $ A \cap V $.

   La probabilité de cet événement est donc :

   $ P(A \cap V) = 0{,}12 $

2. On cherche la probabilité $ P_{A}(V) $, c'est-à-dire la probabilité que le client ait choisi l'option « visites guidées » sachant qu'il a choisi la formule « avion+hôtel ».
   D'après la formule des probabilités conditionnelles :

   $ P_{A}(V) = \dfrac{P(A \cap V)}{P(A)} $

   On sait que $ P(A) = 0{,}40 $ (40% des clients) et $ P(A \cap V) = 0{,}12 $.

   $ P_{A}(V) = \dfrac{0{,}12}{0{,}40} = 0{,}3 $

3. Arbre pondéré représentant la situation :
   L'événement $ Z $ est le contraire de l'événement $ A $, donc $ P(Z) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6 $.
   On sait aussi que $ P_Z(V) = 0{,}5 $ (50% des clients « train+hôtel » choisissent l'option).

   

1. L'événement $ V $ est la réunion des événements disjoints $ A \cap V $ et $ Z \cap V $.
   D'après la formule des probabilités totales :

   $ P(V) = P(A \cap V) + P(Z \cap V) $

   On a déjà $ P(A \cap V) = 0{,}12 $.
   Calculons $ P(Z \cap V) $ :

   $ P(Z \cap V) = P(Z) \times P_Z(V) = 0{,}6 \times 0{,}5 = 0{,}30 $

   On obtient donc :

   $ P(V) = 0{,}12 + 0{,}30 = 0{,}42 $

2. On cherche la probabilité que le client ait pris l'avion sachant qu'il n'a pas choisi l'option visites guidées, soit $ P_{\overline{V}}(A) $.

   $ P_{\overline{V}}(A) = \dfrac{P(A \cap \overline{V})}{P(\overline{V})} $

   Calculons $ P(A \cap \overline{V}) $ :

   $ P(A \cap \overline{V}) = P(A) \times P_A(\overline{V}) = 0{,}4 \times 0{,}7 = 0{,}28 $

   On sait que $ P(\overline{V}) = 1 - P(V) = 1 - 0{,}42 = 0{,}58 $.

   $ P_{\overline{V}}(A) = \dfrac{0{,}28}{0{,}58} \approx 0{,}483 $

Calculons d'abord l'espérance du prix payé par un client, notée $ E(X) $.
Les quatre combinaisons possibles et leurs probabilités sont :

• Avion + Hôtel + Visites : $ 390 + 100 = 490 $ € avec une probabilité $ P(A \cap V) = 0{,}12 $
• Avion + Hôtel seul : 390 € avec une probabilité $ P(A \cap \overline{V}) = 0{,}28 $
• Train + Hôtel + Visites : $ 510 + 100 = 610 $ € avec une probabilité $ P(Z \cap V) = 0{,}30 $
• Train + Hôtel seul : 510 € avec une probabilité $ P(Z \cap \overline{V}) = 0{,}6 \times 0{,}5 = 0{,}30 $

L'espérance est :
$ E(X) = 490 \times 0{,}12 + 390 \times 0{,}28 + 610 \times 0{,}30 + 510 \times 0{,}30 $
$ E(X) = 58{,}8 + 109{,}2 + 183 + 153 $
$ E(X) = 504 $ €

Pour 50 clients, le chiffre d'affaires espéré est :