Probabilités Arbre – Bac ES Pondichéry 2011
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Un restaurant propose à sa carte deux types de dessert :
- un assortiment de macarons, choisi par 50% des clients
- une part de tarte Tatin, choisie par 30% des clients
20% des clients ne prennent pas de dessert et aucun client ne prend plusieurs desserts.
Le restaurateur a remarqué que :
- parmi les clients ayant pris un assortiment de macarons, 80% prennent un café
- parmi les clients ayant pris une part de tarte tatin, 60% prennent un café
- parmi les clients n'ayant pas pris de dessert, 90% prennent un café
On interroge au hasard un client de ce restaurant. On note p la probabilité associée à cette expérience aléatoire.
On note :
- M l'évènement : « Le client prend un assortiment de macarons »
- T l'évènement : « Le client prend une part de tarte Tatin »
- P l'évènement : « Le client ne prend pas de dessert »
- C l'évènement : « Le client prend un café » et $ \overline{C} $ l'évènement contraire de C
- En utilisant les données de l'énoncé, préciser la valeur de $ p(T) $ et celle de $ p_T(C) $, probabilité de l'évènement $ C $ sachant que $ T $ est réalisé.
Recopier et compléter l'arbre ci-dessous :
- Exprimer par une phrase ce que représente l'évènement M $ \cap $C puis calculer p(M $ \cap $C).
- Montrer que $ p(C)=0{,}76 $
- Quelle est la probabilité que le client prenne un assortiment de macarons sachant qu'il prend un café ? (On donnera le résultat arrondi au centième).
Un assortiment de macarons est vendu 6 €, une part de tarte Tatin est vendue 7 €, et un café est vendu 2 €.
Chaque client prend un plat (et un seul) au prix unique de 18 €, ne prend pas plus d'un dessert ni plus d'un café.
- Quelles sont les six valeurs possibles pour la somme totale dépensée par un client ?
Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la somme totale dépensée par un client :
Somme $ s_{i} $ 18 20 24 ... ... ... $ p\left(s_{i}\right) $ $ 0{,}02 $ $ 0{,}18 $ ... - Calculer l'espérance mathématique de cette loi et interpréter ce résultat.
Corrigé
T est l'évènement « le client choisit une part de tarte Tatin ».
D'après l'énoncé :
$ p\left(T\right)=\dfrac{30}{100}=0{,}3 $
$ p_{T}\left(C\right) $ est la probabilité que le client prenne un café sachant qu'il a pris une tarte Tatin.
D'après l'énoncé :
$ p_{T}\left(C\right)=\dfrac{60}{100}=0{,}6 $
$ M \cap C $ est l'évènement « le client prend un assortiment de macarons et un café ».
D'après la formule des probabilités conditionnelles :
$ p\left(M \cap C\right)=p\left(M\right)\times p_{M}\left(C\right)=0{,}5\times 0{,}8=0{,}4 $
D'après la formule des probabilités totales :
$ p\left(C\right)=p\left(M \cap C\right)+p\left(T \cap C\right)+p\left(P \cap C\right) $
$ p\left(C\right)=0{,}4+p\left(T\right)\times p_{T}\left(C\right)+p\left(P\right)\times p_{P}\left(C\right) $
$ p\left(C\right)=0{,}4+0{,}3\times 0{,}6+0{,}2\times 0{,}9=0{,}76 $
On recherche $ p_{C}\left(M\right) $.
D'après la formule des probabilités conditionnelles :
$ p_{C}\left(M\right)=\dfrac{p\left(M \cap C\right)}{p\left(C\right)}=\dfrac{0{,}4}{0{,}76}\approx 0{,}53 $
Les six éventualités sont : $ P \cap \overline{C}, P \cap C, M \cap \overline{C}, M \cap C, T \cap \overline{C}, T \cap C $. Les prix correspondants sont donnés par le tableau ci-dessous :
évènement $ P \cap \overline{C} $ $ P \cap C $ $ M \cap \overline{C} $ $ M \cap C $ $ T \cap \overline{C} $ $ T \cap C $ prix 18 20 24 26 25 27 Les six valeurs possibles sont donc 18, 20, 24, 25, 26 et 27 euros.
On a $ p\left(P \cap C\right)=p\left(P\right)\times p_{P}\left(C\right)=0{,}2\times 0{,}1=0{,}02 $
Les autres calculs sont analogues.
La loi de probabilité est donnée par le tableau :
sommes $ S_{i} $ 18 20 24 25 26 27 $ p\left(S_{i}\right) $ 0,02 0,18 0,1 0,12 0,4 0,18 L'espérance mathématique est :
$ E=0{,}02\times 18+0{,}18\times 20+0{,}1\times 24+0{,}12\times 25+0{,}4\times 26+0{,}18\times 27=24{,}62 $
La somme dépensée en moyenne par un client est donc 24,62 euros.