Utiliser l’événement contraire
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Pour calculer la probabilité d'un événement en utilisant l'événement contraire :
- Identifier l'événement A dont on cherche la probabilité.
- Formuler l'événement contraire $ \overline{A} $ (l'événement qui se réalise quand A ne se réalise pas).
- Calculer la probabilité de l'un des deux événements (celui dont le calcul est le plus simple).
- Utiliser la formule : $ P(\overline{A}) = 1 - P(A) $ ou $ P(A) = 1 - P(\overline{A}) $.
Remarque
Cette méthode est particulièrement utile lorsque l'événement contraire est plus simple à étudier que l'événement lui-même (par exemple quand l'événement comporte beaucoup d'issues favorables et que son contraire n'en comporte que quelques-unes).
Exemples
Obtenir un numéro différent de 3
On lance un dé cubique équilibré à six faces. Calculer la probabilité de l'événement A : « Ne pas obtenir le 3 ».
Étape 1 : L'événement A est « Ne pas obtenir le 3 ».
Étape 2 : L'événement contraire $ \overline{A} $ est « Obtenir le 3 ».
Étape 3 : $ P(\overline{A}) = \dfrac{1}{6} $ (une seule issue favorable sur 6).
Étape 4 : $ P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6} $
La probabilité de ne pas obtenir le 3 est $ \dfrac{5}{6} $.
Au moins une fille
Dans une famille de deux enfants, on suppose que les naissances « fille » et « garçon » sont équiprobables. Les issues possibles sont : (F, F), (F, G), (G, F) et (G, G). Calculer la probabilité d'avoir au moins une fille.
Étape 1 : L'événement A est « Avoir au moins une fille ».
Étape 2 : L'événement contraire $ \overline{A} $ est « N'avoir aucune fille », c'est-à-dire « Avoir deux garçons ».
Étape 3 : Seule l'issue (G, G) réalise $ \overline{A} $. Il y a 4 issues équiprobables au total.
$ P(\overline{A}) = \dfrac{1}{4} $
Étape 4 : $ P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} $
La probabilité d'avoir au moins une fille est $ \dfrac{3}{4} $.
Tirer une consonne
On écrit chaque lettre du prénom CAMELIA sur un carton (7 lettres : C, A, M, E, L, I, A). On tire un carton au hasard. Calculer la probabilité de tirer une consonne.
Étape 1 : L'événement A est « Tirer une consonne ».
Étape 2 : L'événement contraire $ \overline{A} $ est « Tirer une voyelle ».
Étape 3 : Les voyelles parmi C, A, M, E, L, I, A sont : A, E, I, A, soit 4 voyelles sur 7 lettres.
$ P(\overline{A}) = \dfrac{4}{7} $
Étape 4 : $ P(A) = 1 - \dfrac{4}{7} = \dfrac{3}{7} $
La probabilité de tirer une consonne est $ \dfrac{3}{7} $.
Attention
- Ne pas confondre l'événement et son contraire. Le contraire de « au moins un » est « aucun », et le contraire de « aucun » est « au moins un ».
- L'événement contraire de « strictement inférieur à 5 » est « supérieur ou égal à 5 » (et non « supérieur à 5 »).
- Toujours vérifier que $ P(A) + P(\overline{A}) = 1 $.