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Probabilités Exercices

Composition d’une urne à partir des probabilités

Durée estimée
15 minutes
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Objectifs travaillés

Une urne opaque contient $ 60 $ boules indiscernables au toucher, de trois couleurs : rouges, vertes et bleues. On tire au hasard une boule de l'urne et on regarde sa couleur.

On sait que :

  • la probabilité de tirer une boule rouge vaut $ \dfrac{2}{5} $ ;
  • la probabilité de tirer une boule verte vaut $ 25\,\% $.
  1. Combien de boules rouges contient l'urne ?
  2. Combien de boules vertes contient l'urne ?
  3. Calculer la probabilité de tirer une boule bleue. Donner le résultat sous forme de fraction irréductible, puis en pourcentage.
  4. En déduire le nombre de boules bleues de l'urne. Vérifier la cohérence avec la composition totale.

  5. On note $ R $ l'événement « Tirer une boule rouge » et $ V $ l'événement « Tirer une boule verte ».

    1. Les événements $ R $ et $ V $ sont-ils incompatibles ? Justifier.
    2. Calculer $ P(R \text{ ou } V) $ de deux manières différentes.

Corrigé

  1. Les boules sont indiscernables au toucher : les $ 60 $ issues sont équiprobables, donc le nombre de boules rouges est égal à $ 60 \times P(\text{rouge}) $.
    $ 60 \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{60 \times 2}{5} = \dfrac{120}{5} = 24 $
    L'urne contient $ 24 $ boules rouges.
  2. De la même manière, le nombre de boules vertes vaut :
    $ 60 \times 25\,\% = 60 \times 0{,}25 = 15 $
    L'urne contient $ 15 $ boules vertes.
  3. La somme des probabilités des trois couleurs vaut $ 1 $. Avec $ P(\text{rouge}) = \dfrac{2}{5} $ et $ P(\text{verte}) = \dfrac{1}{4} $ :
    $ P(\text{bleue}) = 1 - \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{4} $
    On réduit au même dénominateur $ 20 $ :
    $ P(\text{bleue}) = \dfrac{20}{20} - \dfrac{8}{20} - \dfrac{5}{20} = \dfrac{7}{20} $
    Cette fraction est déjà irréductible. Sous forme de pourcentage : $ P(\text{bleue}) = \dfrac{35}{100} = 35\,\% $.
    La probabilité de tirer une boule bleue est $\mathbf{\dfrac{7}{20}}$, soit $\mathbf{35\,\%}$.
  4. Le nombre de boules bleues vaut :
    $ 60 \times \dfrac{7}{20} = \dfrac{60 \times 7}{20} = \dfrac{420}{20} = 21 $
    L'urne contient $ 21 $ boules bleues.
    Vérification : $ 24 + 15 + 21 = 60 $, ce qui correspond bien au nombre total de boules.
    1. Une boule tirée a une seule couleur : elle ne peut pas être à la fois rouge et verte. Les événements $ R $ et $ V $ sont donc incompatibles.

    2. Première méthode (somme des probabilités, événements incompatibles) :
      $ P(R \text{ ou } V) = P(R) + P(V) = \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{20} + \dfrac{5}{20} = \dfrac{13}{20} $

      Deuxième méthode (événement contraire) : « Tirer une boule rouge ou verte » est l'événement contraire de « Tirer une boule bleue ».
      $ P(R \text{ ou } V) = 1 - P(\text{bleue}) = 1 - \dfrac{7}{20} = \dfrac{13}{20} $

      Les deux méthodes donnent le même résultat : $ P(R \text{ ou } V)$ = $\mathbf{\dfrac{13}{20}}$.

Pour réviser : Calculer la probabilité d'un événement.