Probabilités
Exercices
Tirage dans un jeu de 32 cartes
15 minutes
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On tire au hasard une carte dans un jeu bien mélangé de $ 32 $ cartes. Ce jeu est composé de quatre couleurs ($ 8 $ cartes par couleur) : cœur et carreau (rouges), pique et trèfle (noires). Chaque couleur contient les cartes : $ 7 $, $ 8 $, $ 9 $, $ 10 $, valet, dame, roi et as.
On définit les événements :
- A : « La carte tirée est un cœur ».
- B : « La carte tirée est un valet ».
- C : « La carte tirée est une figure » (c'est-à-dire un valet, une dame ou un roi).
- Justifier que l'on est en situation d'équiprobabilité, puis calculer $ P(A) $, $ P(B) $ et $ P(C) $.
- Les événements A et B sont-ils incompatibles ? Justifier.
- Les événements B et C sont-ils incompatibles ? Justifier.
- Calculer la probabilité de l'événement : « Tirer un cœur ou tirer un pique ». Justifier la méthode utilisée.
- Décrire par une phrase l'événement contraire $ \overline{C} $ et calculer sa probabilité.
Corrigé
Le jeu est bien mélangé, donc chaque carte a la même chance d'être tirée : les $ 32 $ issues sont équiprobables.
- Il y a $ 8 $ cœurs dans le jeu, donc $ P(A) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4} $.
- Il y a $ 4 $ valets (un par couleur), donc $ P(B) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8} $.
- Il y a $ 3 $ figures par couleur (valet, dame, roi), soit $ 3 \times 4 = 12 $ figures en tout, donc $ P(C) = \dfrac{12}{32} = \dfrac{3}{8} $.
- Le valet de cœur est à la fois un cœur et un valet : il réalise les événements A et B en même temps. Les événements A et B ne sont donc pas incompatibles.
- Un valet est toujours une figure (par définition). Les événements B et C peuvent donc se réaliser en même temps : ils ne sont pas incompatibles.
- Une carte ne peut pas être à la fois un cœur et un pique : les événements « Tirer un cœur » et « Tirer un pique » sont incompatibles. La probabilité que l'un ou l'autre se réalise est la somme de leurs probabilités. Il y a $ 8 $ cœurs et $ 8 $ piques.
$ P(\text{cœur ou pique}) = \dfrac{8}{32} + \dfrac{8}{32} = \dfrac{16}{32} = \dfrac{1}{2} $
La probabilité de tirer un cœur ou un pique est $\mathbf{\dfrac{1}{2}}$. - L'événement contraire $ \overline{C} $ est : « La carte tirée n'est pas une figure », c'est-à-dire « Tirer un $ 7 $, un $ 8 $, un $ 9 $, un $ 10 $ ou un as ».
$ P(\overline{C}) = 1 - P(C) = 1 - \dfrac{3}{8} = \dfrac{8}{8} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8} $
La probabilité de ne pas tirer une figure est $\mathbf{\dfrac{5}{8}}$.