Utiliser la colinéarité de deux vecteurs
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Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$ (ou $\vec{v} = k'\vec{u}$).
La colinéarité permet de démontrer deux types de résultats :
Méthode : montrer un alignement
Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
- Étape 1 : Exprimer $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ en fonction des données.
- Étape 2 : Montrer qu'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$.
- Étape 3 : Conclure que les vecteurs sont colinéaires, donc que $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
Méthode : montrer un parallélisme
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
- Étape 1 : Exprimer $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ en fonction des données.
- Étape 2 : Montrer qu'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{CD} = k\overrightarrow{AB}$.
- Étape 3 : Conclure que les vecteurs sont colinéaires, donc que $(AB) /\!/ (CD)$.
Montrer un alignement
Soit $ABC$ un triangle. On considère les points $M$ et $N$ définis par :
$\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AN} = 4\overrightarrow{AB} + 6\overrightarrow{AC}$
Montrer que les points $A$, $M$ et $N$ sont alignés.
Solution :
Pour montrer que $A$, $M$ et $N$ sont alignés, il suffit de montrer que les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AN}$ sont colinéaires.
On factorise l'expression de $\overrightarrow{AN}$ :
$\overrightarrow{AN} = 4\overrightarrow{AB} + 6\overrightarrow{AC} = 2(2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}) = 2\overrightarrow{AM}$
On a donc $\overrightarrow{AN} = 2\overrightarrow{AM}$ : les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AN}$ sont colinéaires.
Par conséquent, les points $A$, $M$ et $N$ sont alignés.
Montrer un parallélisme
Soit $ABC$ un triangle. On place les points $M$ sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$ tels que :
$\overrightarrow{AM} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AN} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}$
Montrer que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
Solution :
On exprime $\overrightarrow{MN}$ en introduisant le point $A$ :
$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN}$ (relation de Chasles)
$\overrightarrow{MN} = -\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN}$
$\overrightarrow{MN} = -\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{MN} = \dfrac{3}{4}(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$
$\overrightarrow{MN} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}$
On a donc $\overrightarrow{MN} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}$ : les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires.
Par conséquent, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
Remarque
Le résultat de l'exemple 2 est un cas particulier d'un théorème important : si $M$ et $N$ sont situés sur deux côtés d'un triangle de sorte que $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, alors $(MN) /\!/ (BC)$.
Attention
Ne pas confondre alignement et parallélisme :
- Pour l'alignement de trois points $A$, $B$, $C$ : les deux vecteurs doivent avoir la même origine ($\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$).
- Pour le parallélisme de deux droites $(AB)$ et $(CD)$ : on utilise un vecteur directeur de chaque droite ($\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$).