Milieux et multiplication par un réel

Durée estimée

15 minutes

Difficulté

Soit $ PQR $ un triangle. $ I $ est le milieu du segment $ [PQ] $ et $ J $ est le milieu du segment $ [PR] $.

Exprimer $ \overrightarrow{PI} $ en fonction de $ \overrightarrow{PQ} $ et $ \overrightarrow{PJ} $ en fonction de $ \overrightarrow{PR} $.
Montrer que $ \overrightarrow{IJ} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{PQ} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{PR} $.
En déduire que $ \overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{QR} $.
Que peut-on en conclure pour les droites $ (IJ) $ et $ (QR) $ et pour les longueurs $ IJ $ et $ QR $ ?

Corrigé

$ I $ est le milieu de $ [PQ] $, donc :

$ \overrightarrow{PI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{PQ} $

$ J $ est le milieu de $ [PR] $, donc :

$ \overrightarrow{PJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{PR} $
On exprime $ \overrightarrow{IJ} $ à l'aide de la relation de Chasles en passant par $ P $ :
$ \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IP} + \overrightarrow{PJ} $
Or $ \overrightarrow{IP} = -\overrightarrow{PI} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{PQ} $ et $ \overrightarrow{PJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{PR} $.
Donc :

$ \overrightarrow{IJ} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{PQ} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{PR} $
On factorise par $ \dfrac{1}{2} $ :
$ \overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{PR} - \overrightarrow{PQ}) = \dfrac{1}{2}(-\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{PR}) $
Or, par la relation de Chasles :
$ \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{QP} + \overrightarrow{PR} = -\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{PR} $
Donc :

$ \overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{QR} $
L'égalité $ \overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{QR} $ montre que les vecteurs $ \overrightarrow{IJ} $ et $ \overrightarrow{QR} $ sont colinéaires.
On en déduit que les droites $ (IJ) $ et $ (QR) $ sont parallèles.
De plus, $ \| \overrightarrow{IJ} \| = \dfrac{1}{2} \| \overrightarrow{QR} \| $, ce qui signifie que $\mathbf{IJ = \dfrac{1}{2} QR}$.