Utiliser l’absence de mémoire de la loi géométrique
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Si $ X $ suit la loi géométrique de paramètre $ p $, alors pour tous entiers $ n\geqslant 0 $ et $ k\geqslant 1 $ :
Autrement dit, sachant que les $ n $ premières épreuves sont des échecs, la loi du temps d'attente restant est la même qu'au départ : la loi « oublie » le passé.
Pour exploiter cette propriété :
- Étape 1 : justifier que $ X $ suit une loi géométrique et identifier $ p $.
- Étape 2 : reformuler la probabilité conditionnelle de l'énoncé sous la forme $ p_{X > n}(X > n+k) $ ou $ p_{X > n}(X=n+k) $.
Étape 3 : appliquer l'absence de mémoire pour ramener le calcul à une probabilité non conditionnelle :
- $ p_{X > n}(X > n+k)=p(X > k)=(1-p)^{k} $.
- $ p_{X > n}(X=n+k)=p(X=k)=(1-p)^{k-1}\times p $.
Remarque
L'absence de mémoire signifie que l'expérience repart à zéro après chaque échec. C'est l'équivalent discret de la loi exponentielle. Cette propriété caractérise la loi géométrique parmi toutes les lois discrètes à valeurs dans $ \mathbb{N}^{*} $.
Application directe
On lance un dé équilibré à six faces jusqu'à obtenir un $ 6 $. Soit $ X $ le rang du premier $ 6 $. Sachant qu'aucun $ 6 $ n'est apparu lors des $ 5 $ premiers lancers, quelle est la probabilité d'attendre encore au moins $ 3 $ lancers de plus pour voir apparaître le premier $ 6 $ ?
Étape 1 : $ X $ suit la loi géométrique de paramètre $ p=\dfrac{1}{6} $.
Étape 2 : l'événement « aucun $ 6 $ dans les $ 5 $ premiers lancers » correspond à $ (X > 5) $. « Attendre encore au moins $ 3 $ lancers de plus » correspond à $ (X > 5+3)=(X > 8) $. On cherche donc :
Étape 3 : par absence de mémoire :
Il y a environ $ 57{,}9\,\% $ de chances d'attendre encore au moins $ 3 $ lancers de plus.
Probabilité d'un succès au prochain essai
Un standard téléphonique reçoit des appels indépendants. La probabilité qu'un appel donné soit dirigé vers le service technique est $ p=0{,}3 $. Soit $ X $ le rang du premier appel pour le service technique. Sachant que les $ 4 $ premiers appels n'ont pas été pour le service technique, quelle est la probabilité que le $ 5 $-ième appel le soit ?
Étape 1 : $ X $ suit la loi géométrique de paramètre $ p=0{,}3 $.
Étape 2 : on cherche $ p_{X > 4}(X=5) $, c'est-à-dire $ p_{X > 4}(X=4+1) $.
Étape 3 : par absence de mémoire, avec $ k=1 $ :
La probabilité que le prochain appel soit pour le service technique est exactement $ p=0{,}3 $, comme si l'on partait à nouveau de zéro.
Comparaison avec et sans information
Une personne tente d'allumer un briquet défectueux qui s'allume avec une probabilité $ p=0{,}2 $ à chaque tentative. Les tentatives sont indépendantes. Soit $ X $ le rang de la première réussite.
- Calculer la probabilité que le briquet ne s'allume pas avant la $ 6 $-ième tentative.
- Sachant que les $ 3 $ premières tentatives ont échoué, calculer la probabilité que le briquet ne s'allume toujours pas avant la $ 6 $-ième tentative (c'est-à-dire $ X > 6 $).
Étape 1 : $ X $ suit la loi géométrique de paramètre $ p=0{,}2 $.
Étape 2 : première probabilité : $ p(X > 5)=(0{,}8)^{5} $. Seconde probabilité : $ p_{X > 3}(X > 6) $, qui par absence de mémoire vaut $ p(X > 3)=(0{,}8)^{3} $.
Étape 3 : calculs :
L'information « les $ 3 $ premières tentatives ont échoué » modifie la probabilité : la deuxième est plus élevée car il ne reste que $ 3 $ tentatives à observer (au lieu de $ 5 $).
Attention
Pièges fréquents :
- Croire que « avoir échoué $ n $ fois » augmente la probabilité de succès à l'essai suivant : c'est faux. La loi géométrique « oublie » : la probabilité de succès reste $ p $.
- Mal traduire l'événement conditionnant : « au moins $ n $ échecs avant le premier succès » se traduit par $ X > n $, pas par $ X\geqslant n $.
- Appliquer l'absence de mémoire à une autre loi : seule la loi géométrique (et la loi exponentielle continue) possède cette propriété.