Résoudre un problème de modélisation avec ln
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Créer un compteUtiliser ln dans un problème de modélisation
Le logarithme népérien sert à résoudre des équations de la forme $ a \times e^{kt} = N $ (ou $ a \times q^{n} = N $), c'est-à-dire dès qu'une inconnue se trouve en exposant.
Démarche générale :
- Traduire l'énoncé par une équation contenant la grandeur cherchée en exposant.
- Isoler l'exponentielle (ou la puissance) dans un membre.
- Appliquer la fonction $ \ln $ aux deux membres : $ \ln(e^{kt}) = kt $ et $ \ln(q^{n}) = n\ln(q) $ font « descendre » l'exposant.
- Résoudre l'équation linéaire obtenue, puis interpréter le résultat dans le contexte (entier supérieur, arrondi, unité).
Seuil dans un modèle exponentiel
Une population de bactéries est modélisée par $ P(t) = 200 \, e^{0{,}15 t} $, où $ t $ est exprimé en heures. À partir de quel instant la population dépasse-t-elle $ 1000 $ bactéries ?
Étape 1 : poser l'inéquation.
$ P(t) > 1000 \iff 200 \, e^{0{,}15 t} > 1000 $
Étape 2 : isoler l'exponentielle.
$ e^{0{,}15 t} > 5 $
Étape 3 : appliquer $ \ln $ aux deux membres.
La fonction $ \ln $ est strictement croissante, donc l'inégalité est conservée.
$ 0{,}15\, t > \ln(5) $
Étape 4 : résoudre.
$ t > \dfrac{\ln(5)}{0{,}15} \approx \dfrac{1{,}609}{0{,}15} \approx 10{,}73 $
Étape 5 : interpréter.
La population dépasse $ 1000 $ au bout d'environ $ 10{,}73 $ heures, c'est-à-dire à partir de la $ 11^{\text{e}} $ heure.
Demi-vie radioactive
Une substance radioactive a une masse modélisée par $ m(t) = m_{0}\, e^{-0{,}0231 t} $, où $ t $ est en années. Calculer la demi-vie, c'est-à-dire le temps au bout duquel la masse a été divisée par $ 2 $.
Étape 1 : traduire la condition.
On cherche $ t $ tel que $ m(t) = \dfrac{m_{0}}{2} $.
$ m_{0}\, e^{-0{,}0231\, t} = \dfrac{m_{0}}{2} $
Étape 2 : simplifier par $ m_{0} > 0 $.
$ e^{-0{,}0231\, t} = \dfrac{1}{2} $
Étape 3 : appliquer $ \ln $.
$ -0{,}0231\, t = \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\ln(2) $
Étape 4 : résoudre.
$ t = \dfrac{\ln(2)}{0{,}0231} \approx \dfrac{0{,}693}{0{,}0231} \approx 30 $
Étape 5 : interpréter.
La demi-vie de cette substance est d'environ $ 30 $ ans.
Temps de doublement d'une suite géométrique
Le nombre d'utilisateurs d'une plateforme est modélisé par une suite géométrique $ u_{n} = 5000 \times 1{,}08^{n} $, où $ n $ est le rang en mois. Au bout de combien de mois le nombre d'utilisateurs aura-t-il doublé ?
Étape 1 : poser l'inéquation.
$ u_{n} \geqslant 2 u_{0} \iff 5000 \times 1{,}08^{n} \geqslant 10\,000 $
Étape 2 : isoler la puissance.
$ 1{,}08^{n} \geqslant 2 $
Étape 3 : appliquer $ \ln $.
Comme $ 1{,}08 > 0 $, on peut appliquer $ \ln $. Comme $ \ln(1{,}08) > 0 $, le sens de l'inégalité est conservé :
$ n \ln(1{,}08) \geqslant \ln(2) $
$ n \geqslant \dfrac{\ln(2)}{\ln(1{,}08)} \approx \dfrac{0{,}693}{0{,}0770} \approx 9{,}01 $
Étape 4 : interpréter.
$ n $ est un entier, donc le doublement est atteint à partir de $ n = 10 $ : il faut attendre $ 10 $ mois.
Remarque
Plus généralement, pour résoudre $ q^{n} = N $ avec $ q > 0 $ et $ q \neq 1 $ :
On retrouve la formule du temps de doublement ($ N = 2 $) ou de la demi-vie ($ N = \dfrac{1}{2} $).
Attention
Quand on applique $ \ln $ à une inéquation de la forme $ q^{n} \geqslant k $, regarder le signe de $ \ln(q) $ avant de diviser :
- si $ q > 1 $ alors $ \ln(q) > 0 $ : le sens de l'inégalité est conservé
- si $ 0 < q < 1 $ alors $ \ln(q) < 0 $ : le sens de l'inégalité est inversé