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Fonction logarithme népérien Exercices

Datation au carbone 14

Durée estimée
15 minutes
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Objectif travaillé

La quantité de carbone 14 contenue dans un échantillon décroît au cours du temps selon la loi

$ N(t) = N_{0}\,e^{-\lambda t} $

où $ t $ est la durée écoulée en années, $ N_{0} $ la quantité initiale et $ \lambda = 1{,}21 \times 10^{-4} $ an$^{-1} $ la constante de désintégration.

  1. La demi-vie $ T $ est la durée nécessaire pour que la quantité de carbone 14 soit divisée par deux. Démontrer que $ T = \dfrac{\ln(2)}{\lambda} $, puis donner une valeur approchée de $ T $ à l'année près.
  2. Un fragment d'os fossile contient encore $ 30\,\% $ du carbone 14 d'un organisme vivant. Estimer son âge à l'année près.
  3. À partir de quel âge un échantillon contient-il moins de $ 1\,\% $ du carbone 14 initial ? Donner la réponse arrondie à la centaine d'années.

Corrigé

  1. Par définition, $ T $ est tel que $ N(T) = \dfrac{N_{0}}{2} $. On résout :
    $ N_{0}\,e^{-\lambda T} = \dfrac{N_{0}}{2} $
    $ e^{-\lambda T} = \dfrac{1}{2} $
    $ -\lambda T = \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\ln(2) $
    $ T = \dfrac{\ln(2)}{\lambda} $.

    Application numérique : $ T = \dfrac{\ln(2)}{1{,}21 \times 10^{-4}} \approx \dfrac{0{,}6931}{0{,}000121} \approx 5728{,}5 $.

    La demi-vie du carbone 14 vaut $ T \approx 5\,728 $ ans.

  2. On cherche $ t $ tel que $ \dfrac{N(t)}{N_{0}} = 0{,}30 $, soit $ e^{-\lambda t} = 0{,}30 $.
    On applique le logarithme népérien :
    $ -\lambda t = \ln(0{,}30) $
    $ t = -\dfrac{\ln(0{,}30)}{\lambda} = \dfrac{\ln\!\left(\dfrac{1}{0{,}30}\right)}{\lambda} $.

    Application numérique : $ \ln(0{,}30) \approx -1{,}2040 $, donc $ t \approx \dfrac{1{,}2040}{0{,}000121} \approx 9\,950{,}4 $.

    L'os fossile a un âge approximatif de $ 9\,950 $ ans.

  3. On cherche $ t $ tel que $ \dfrac{N(t)}{N_{0}} < 0{,}01 $, soit $ e^{-\lambda t} < 0{,}01 $.
    La fonction $ \ln $ est strictement croissante sur $ ]0\,;+\infty[ $ donc l'inégalité est conservée :
    $ -\lambda t < \ln(0{,}01) $
    $ t > -\dfrac{\ln(0{,}01)}{\lambda} = \dfrac{\ln(100)}{\lambda} $.

    Application numérique : $ \ln(100) = 2\ln(10) \approx 4{,}6052 $, donc $ t > \dfrac{4{,}6052}{0{,}000121} \approx 38\,059 $.

    Un échantillon contient moins de $ 1\,\% $ de carbone 14 au-delà de $ 38\,100 $ ans environ (arrondi à la centaine d'années).

→ Pour réviser : Résoudre un problème de modélisation avec ln