Montrer (ou réfuter) l’indépendance de deux événements
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Deux événements $ A $ et $ B $ sont indépendants si et seulement si :
Si $ p(A)\neq 0 $, cela équivaut à $ p_A(B)=p(B) $.
Méthode
Pour décider si deux événements $ A $ et $ B $ sont indépendants :
- Étape 1 : déterminer $ p(A) $, $ p(B) $ et $ p(A\cap B) $ à partir de l'énoncé, du tableau ou de l'arbre.
- Étape 2 : calculer le produit $ p(A)\times p(B) $.
Étape 3 : comparer $ p(A\cap B) $ et $ p(A)\times p(B) $.
- Si les deux nombres sont égaux : $ A $ et $ B $ sont indépendants.
- Sinon : $ A $ et $ B $ ne sont pas indépendants.
Variante (lorsque $ p(A)\neq 0 $) : comparer $ p_A(B) $ et $ p(B) $. Égalité $ \Leftrightarrow $ indépendance.
Remarque
L'indépendance est une propriété symétrique : si $ A $ et $ B $ sont indépendants, alors $ B $ et $ A $ le sont aussi. De plus, si $ A $ et $ B $ sont indépendants, alors $ A $ et $ \overline{B} $ le sont également.
Deux événements indépendants
On lance deux fois un dé équilibré à six faces. On note $ A $ : « le premier lancer donne un nombre pair » et $ B $ : « le second lancer donne un $ 6 $ ». Étudier l'indépendance de $ A $ et $ B $.
Étape 1 : sur les $ 36 $ couples équiprobables :
L'événement $ A\cap B $ correspond aux couples (premier pair, second égal à $ 6 $), soit $ 3 $ couples sur $ 36 $ :
Étape 2 : calcul du produit :
Étape 3 : comparaison :
Les événements $ A $ et $ B $ sont indépendants, ce qui correspond bien à l'intuition : les deux lancers se déroulent séparément.
Deux événements non indépendants
Une enquête concerne $ 400 $ adultes. On relève s'ils sont fumeurs et s'ils déclarent avoir une activité sportive régulière.
| Sport | Pas de sport | Total | |
| Fumeurs | $24$ | $96$ | $120$ |
| Non-fumeurs | $112$ | $168$ | $280$ |
| Total | $136$ | $264$ | $400$ |
On choisit une personne au hasard. On note $ F $ : « la personne est fumeuse » et $ S $ : « la personne pratique un sport ». Les événements $ F $ et $ S $ sont-ils indépendants ?
Étape 1 : lecture du tableau :
Étape 2 : calcul du produit :
Étape 3 : comparaison :
Les événements $ F $ et $ S $ ne sont pas indépendants : être fumeur diminue la probabilité de pratiquer un sport.
Attention
Pièges fréquents :
- Confondre incompatibilité et indépendance : deux événements de probabilités non nulles incompatibles vérifient $ p(A\cap B)=0\neq p(A)\times p(B) $, ils ne sont donc pas indépendants.
- Conclure trop vite à partir d'une « proximité » de valeurs : il faut une égalité exacte (ou parfaitement justifiée) entre $ p(A\cap B) $ et $ p(A)\times p(B) $.
- Utiliser $ p_A(B)=p(B) $ sans avoir vérifié au préalable que $ p(A)\neq 0 $.