QCM : Indépendance d’événements
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Ce QCM porte sur l'indépendance de deux événements : caractérisation $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$, équivalence avec $p_A(B) = p(B)$ et distinction avec l'incompatibilité. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : Soient $A$ et $B$ deux événements d'un même univers. À quelle condition dit-on que $A$ et $B$ sont indépendants ?
- (Incorrect) $p(A \cap B) = 0$
- (Incorrect) $p(A \cup B) = p(A) \times p(B)$
- (Incorrect) $p(A) = p(B)$
- (Correct) $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$
Question 2 : Dans un sondage portant sur 100 personnes, on relève le sport pratiqué et le sexe. On obtient :
Pratique du sport
Pas de sport
Total
Hommes
$30$
$20$
$50$
Femmes
$30$
$20$
$50$
Total
$60$
$40$
$100$
On choisit une personne au hasard. On note $A$ : « la personne est un homme » et $B$ : « la personne pratique le sport ». Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
- (Correct) Oui, car $p(A \cap B) = p(A) \times p(B) = 0{,}3$.
- (Incorrect) Non, car $p(A \cap B) = 0{,}3 \neq 0$.
- (Incorrect) Non, car $p(A) \neq p(B)$.
- (Incorrect) Oui, car il y a autant d'hommes que de femmes.
Question 3 : Soient $A$ et $B$ deux événements incompatibles tels que $p(A) = 0{,}4$ et $p(B) = 0{,}5$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
- (Incorrect) Oui, car deux événements incompatibles sont toujours indépendants.
- (Incorrect) Oui, car $p(A) + p(B) = 0{,}9$.
- (Incorrect) On ne peut pas conclure sans connaître $p_A(B)$.
- (Correct) Non, car $p(A \cap B) = 0$ alors que $p(A) \times p(B) = 0{,}2$.
Question 4 : On lance deux dés équilibrés à six faces. On note $A$ : « le premier dé affiche un nombre pair » et $B$ : « la somme des deux dés vaut $7$ ». Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
- (Incorrect) Non, car les deux événements portent sur les mêmes lancers de dés.
- (Correct) Oui, car $p(A \cap B) = \dfrac{1}{12} = p(A) \times p(B)$.
- (Incorrect) Non, car $p(A) \neq p(B)$.
- (Incorrect) Oui, car les deux lancers sont indépendants l'un de l'autre.
Question 5 : Soient $A$ et $B$ deux événements tels que $p(A) = 0{,}3$, $p(B) = 0{,}4$ et $p_A(B) = 0{,}4$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
- (Correct) Oui, car $p_A(B) = p(B)$ et $p(A) \neq 0$.
- (Incorrect) Non, car $p(A) \neq p(B)$.
- (Incorrect) On ne peut pas conclure sans connaître $p(A \cap B)$.
- (Incorrect) Oui, car $p(A) + p(B) = 0{,}7$.
Question 6 : Soient $A$ et $B$ deux événements indépendants tels que $p(A) = 0{,}3$ et $p(B) = 0{,}2$. Calculer $p(A \cap \overline{B})$.
- (Incorrect) $0{,}06$
- (Incorrect) $0{,}5$
- (Correct) $0{,}24$
- (Incorrect) $0{,}8$