Mettre un trinôme sous forme canonique
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Soit $P(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. Pour mettre $P$ sous forme canonique $a(x - \alpha)^2 + \beta$ :
- Étape 1 : Identifier les coefficients $a$, $b$ et $c$
- Étape 2 : Calculer $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$
- Étape 3 : Calculer $\beta = P(\alpha)$
- Étape 4 : Écrire $P(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$
Cas d'un trinôme avec a = 1
Mettre sous forme canonique le trinôme $P(x) = x^2 - 6x + 5$.
Étape 1 : On identifie $a = 1$, $b = -6$ et $c = 5$.
Étape 2 : On calcule $\alpha$ :
Étape 3 : On calcule $\beta = P(\alpha) = P(3)$ :
Étape 4 : On écrit la forme canonique :
Cas d'un trinôme avec a différent de 1
Mettre sous forme canonique $g(x) = 2x^2 + 4x - 1$.
Étape 1 : On a $a = 2$, $b = 4$ et $c = -1$.
Étape 2 : On calcule $\alpha$ :
Étape 3 : On calcule $\beta = g(-1)$ :
Étape 4 : On obtient :
Remarque
La forme canonique donne immédiatement les coordonnées du sommet de la parabole représentant $P$ : ce sommet a pour coordonnées $S(\alpha\,;\,\beta)$. L'axe de symétrie de la parabole est la droite verticale d'équation $x = \alpha$.
Attention
Bien faire attention au signe de $\alpha$ dans la forme canonique : si $\alpha = -1$, on écrit $(x - (-1))^2 = (x \color{red}{+}\color{black} 1)^2$ et non $(x - 1)^2$.