Calculer et interpréter les indicateurs d’un test diagnostique
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Créer un compteRappel des indicateurs
Pour un test diagnostique appliqué à une maladie $ M $ et donnant un résultat positif $ T $ :
- Sensibilité : $ p_M(T) $ — probabilité que le test soit positif sachant que la personne est malade.
- Spécificité : $ p_{\overline{M}}(\overline{T}) $ — probabilité que le test soit négatif sachant que la personne est saine.
- Valeur prédictive positive (VPP) : $ p_T(M) $ — probabilité d'être malade sachant que le test est positif.
- Valeur prédictive négative (VPN) : $ p_{\overline{T}}(\overline{M}) $ — probabilité d'être sain sachant que le test est négatif.
Méthode
Pour calculer les indicateurs d'un test à partir de la prévalence $ p(M) $, de la sensibilité et de la spécificité :
Étape 1 : recopier les données dans les notations des probabilités conditionnelles :
- prévalence : $ p(M) $ ;
- sensibilité : $ p_M(T) $ ;
- spécificité : $ p_{\overline{M}}(\overline{T}) $, d'où $ p_{\overline{M}}(T)=1-p_{\overline{M}}(\overline{T}) $.
- Étape 2 : calculer $ p(T) $ avec la formule des probabilités totales :
- Étape 3 : appliquer la formule de Bayes pour la VPP, et la même méthode pour la VPN :
- Étape 4 : interpréter chaque indicateur en français.
Remarque
Sensibilité et spécificité sont des caractéristiques du test et ne dépendent pas de la population. Les valeurs prédictives, en revanche, dépendent de la prévalence : un test très sensible peut donner une faible VPP lorsque la maladie est rare.
Maladie peu fréquente
Un test de dépistage a une sensibilité de $ 0{,}98 $ et une spécificité de $ 0{,}95 $. La maladie touche $ 1\,\% $ de la population. Calculer la VPP et la VPN, et commenter.
Étape 1 : traduction des données :
D'où $ p_{\overline{M}}(T)=1-0{,}95=0{,}05 $ et $ p_M(\overline{T})=1-0{,}98=0{,}02 $.
Étape 2 : probabilité totale pour $ T $ :
et donc $ p(\overline{T})=1-0{,}0593=0{,}9407 $.
Étape 3 : valeurs prédictives :
Étape 4 : interprétation. Une personne testée positive n'a qu'environ $ 16{,}5\,\% $ de chances d'être réellement malade : la rareté de la maladie écrase la VPP, malgré la sensibilité élevée. En revanche, un test négatif rassure presque entièrement (VPN $ \approx 99{,}98\,\% $).
Effet de la prévalence
On reprend le même test (sensibilité $ 0{,}98 $, spécificité $ 0{,}95 $) mais on l'applique cette fois à une population à risque où $ p(M)=0{,}30 $. Recalculer la VPP.
Étape 1 : $ p(M)=0{,}30 $, $ p_M(T)=0{,}98 $, $ p_{\overline{M}}(T)=0{,}05 $.
Étape 2 : formule des probabilités totales :
Étape 3 : valeur prédictive positive :
Étape 4 : dans cette population à risque, environ $ 89{,}4\,\% $ des personnes testées positives sont effectivement malades. La VPP a fortement augmenté alors que les caractéristiques du test (sensibilité, spécificité) sont inchangées : seule la prévalence a changé.
Attention
Pièges fréquents :
- Confondre sensibilité et VPP : la sensibilité conditionne par « être malade » ; la VPP conditionne par « le test est positif ». Lire avec soin l'événement qui suit « sachant ».
- Oublier d'utiliser le complémentaire pour la spécificité : si l'énoncé donne « le test est positif chez $ 4\,\% $ des personnes saines », il s'agit de $ p_{\overline{M}}(T)=0{,}04 $, et la spécificité vaut $ 1-0{,}04=0{,}96 $.
- Affirmer qu'un test « fiable » a forcément une VPP élevée : sans tenir compte de la prévalence, l'affirmation est fausse (cf. exemple 1).