Étudier le sens de variation d’une suite
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteLes trois méthodes
Étudier le sens de variation d'une suite
Pour montrer qu'une suite $(u_{n})$ est croissante (resp. décroissante), on peut utiliser l'une des méthodes suivantes :
Méthode 1 — Étude du signe de $u_{n+1} - u_{n}$
- Si $u_{n+1} - u_{n} \geqslant 0$ pour tout $n$, alors $(u_{n})$ est croissante.
- Si $u_{n+1} - u_{n} \leqslant 0$ pour tout $n$, alors $(u_{n})$ est décroissante.
Méthode 2 — Étude du quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}$ (si $u_{n} > 0$)
- Si $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} \geqslant 1$ pour tout $n$, alors $(u_{n})$ est croissante.
- Si $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} \leqslant 1$ pour tout $n$, alors $(u_{n})$ est décroissante.
Méthode 3 — Fonction associée
Si $u_{n} = f(n)$ où $f$ est une fonction définie et dérivable sur $[0 ; +\infty[$, alors le sens de variation de $(u_{n})$ est celui de $f$.
Remarque
La méthode 1 est la plus universelle. La méthode 2 est pratique pour les suites à termes strictement positifs (suites géométriques, exponentielles). La méthode 3 est adaptée aux suites dont le terme général s'écrit comme une fonction de $n$.
Exemple 1 : Méthode de la différence
Exemple
Soit $(u_{n})$ définie par $u_{n+1} = \dfrac{u_{n} + 4}{2}$ et $u_{0} = 2$.
Étudions le signe de $u_{n+1} - u_{n}$ :
$u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{u_{n} + 4}{2} - u_{n} = \dfrac{u_{n} + 4 - 2u_{n}}{2} = \dfrac{4 - u_{n}}{2}$
On a montré (par récurrence) que $u_{n} \leqslant 4$ pour tout $n$, donc $4 - u_{n} \geqslant 0$ et :
La suite $(u_{n})$ est croissante.
Exemple 2 : Méthode du quotient
Exemple
Soit $(u_{n})$ définie par $u_{n} = \dfrac{3^{n}}{n!}$ pour $n \geqslant 1$.
Pour tout $n \geqslant 1$, $u_{n} > 0$. On calcule le quotient :
$\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} = \dfrac{3^{n+1}}{(n+1)!} \times \dfrac{n!}{3^{n}} = \dfrac{3}{n+1}$
Pour $n \geqslant 3$ : $\dfrac{3}{n+1} \leqslant \dfrac{3}{4} < 1$.
Donc $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} \leqslant 1$ pour $n \geqslant 3$ : la suite $(u_{n})$ est décroissante à partir du rang $3$.
Exemple 3 : Méthode de la fonction associée
Exemple
Soit $(u_{n})$ définie par $u_{n} = n^{2} - 6n + 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
On pose $f(x) = x^{2} - 6x + 1$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.
$f'(x) = 2x - 6$
$f'(x) \geqslant 0 \iff x \geqslant 3$
Donc $f$ est décroissante sur $]-\infty ; 3]$ et croissante sur $[3 ; +\infty[$.
La suite $(u_{n})$ est décroissante pour $n \leqslant 3$ et croissante pour $n \geqslant 3$.