Croissance d’une suite
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Soit la suite numérique $ \left(u_{n}\right) $ définie pour tout $ n \in \mathbb{N} $ par :
- Calculer $ u_{1} $, $ u_{2} $, $ u_{3} $ et $ u_{4} $. Quel semble être le sens de variation de cette suite ?
Première méthode. Étudier le sens de variation de la fonction $ f : x\mapsto \dfrac{1}{2}x^{2}+1 $ sur $ \left[0~;~+\infty \right[ $.
En déduire le sens de variation de la suite $ \left(u_{n}\right) $.
Deuxième méthode. Calculer et étudier le signe de $ u_{n+1} - u_{n} $.
Retrouver le résultat de la question 2.
Corrigé
On calcule les premiers termes de la suite.
$ u_0 = 2 $
$ u_1 = \dfrac{1}{2}u_0^2 + 1 = \dfrac{1}{2}\times 4 + 1 = 3 $
$ u_2 = \dfrac{1}{2}u_1^2 + 1 = \dfrac{1}{2}\times 9 + 1 = \dfrac{11}{2} = 5{,}5 $
$ u_3 = \dfrac{1}{2}u_2^2 + 1 = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{11}{2}\right)^2 + 1 = \dfrac{121}{8} + 1 = \dfrac{129}{8} = 16{,}125 $
$ u_4 = \dfrac{1}{2}u_3^2 + 1 = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{129}{8}\right)^2 + 1 = \dfrac{16641}{128} + 1 = \dfrac{16769}{128} \approx 131{,}008 $La suite $ \left(u_n\right) $ semble être croissante.
Première méthode.
La fonction $ f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 1 $ est la somme de la fonction $ x \mapsto \dfrac{1}{2}x^2 $, strictement croissante sur $ [0~;~+\infty[ $, et d'une fonction constante.
Par conséquent, $ f $ est strictement croissante sur $ [0~;~+\infty[ $.
On a $ u_{n+1} = f(u_n) $. Comme $ f $ est croissante sur $ [0~;~+\infty[ $ et que tous les termes de la suite sont positifs, on peut montrer par récurrence que la suite est croissante.
Initialisation : $ u_0 = 2 $ et $ u_1 = 3 $, donc $ u_1 \geqslant u_0 $. La propriété est vraie au rang $ 0 $.
Hérédité : Supposons que pour un certain entier $ n $, on ait $ u_{n+1} \geqslant u_n $.
Puisque $ f $ est croissante sur $ [0~;~+\infty[ $ et que $ u_n, u_{n+1} \in [0~;~+\infty[ $, on a $ f(u_{n+1}) \geqslant f(u_n) $, c'est-à-dire $ u_{n+2} \geqslant u_{n+1} $.
La propriété est donc héréditaire.
Conclusion : La suite $ \left(u_n\right) $ est croissante.
Attention
Attention : Montrer que $ f $ est une fonction croissante ne suffit pas à démontrer que $ (u_n) $ est une suite croissante. Par exemple, si on définit $ v_0 = 4 $ et $ v_{n+1} = \sqrt{v_n} $, la fonction $ x \mapsto \sqrt{x} $ est croissante, mais la suite $ (v_n) $ est décroissante (car $ v_1 = 2 < v_0 $).
Deuxième méthode.
Étudions le signe de $ u_{n+1} - u_n $.
$ u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{2}u_n^2 + 1 - u_n = \dfrac{1}{2}(u_n^2 - 2u_n + 2) $
Le discriminant du trinôme $ x^2 - 2x + 2 $ est $ \Delta = (-2)^2 - 4\times 1\times 2 = 4 - 8 = -4 < 0 $.
Le trinôme est donc du signe du coefficient de $ x^2 $, c'est-à-dire strictement positif.
Ainsi, $ u_{n+1} - u_n > 0 $ pour tout $ n $, ce qui confirme que la suite $ \left(u_n\right) $ est strictement croissante.