Encadrer une expression avec la fonction inverse
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La fonction inverse est strictement décroissante sur $ \left]0\,;\,+\infty\right[ $ et sur $ \left]-\infty\,;\,0\right[ $.
Quand on applique la fonction inverse à un encadrement, le sens des inégalités est inversé.
Méthode
Pour encadrer $ \dfrac{1}{x} $ sachant que $ a \leqslant x \leqslant b $ :
- Vérifier que $ a $ et $ b $ sont de même signe (et non nuls).
- Appliquer la fonction inverse aux trois membres de l'encadrement.
- Inverser le sens des inégalités : $ \dfrac{1}{b} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{a} $.
Attention
Cette méthode ne fonctionne que si les bornes sont de même signe. Si l'encadrement contient $ 0 $ (par exemple $ -2 \leqslant x \leqslant 3 $), on ne peut pas appliquer directement la fonction inverse car elle n'est pas définie en $ 0 $ et n'est pas décroissante sur un intervalle contenant $ 0 $.
Encadrer avec des bornes positives
On sait que $ 2 \leqslant x \leqslant 5 $. Encadrer $ \dfrac{1}{x} $.
Étape 1 : on vérifie que les bornes sont de même signe : $ 2 > 0 $ et $ 5 > 0 $. C'est bon.
Étape 2 : on applique la fonction inverse à chaque membre :
Étape 3 : la fonction inverse est décroissante sur $ \left]0\,;\,+\infty\right[ $, donc on inverse les inégalités :
Ainsi : $ 0{,}2 \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant 0{,}5 $.
Encadrer avec des bornes négatives
On sait que $ -7 \leqslant x \leqslant -3 $. Encadrer $ \dfrac{1}{x} $.
Étape 1 : on vérifie que les bornes sont de même signe : $ -7 < 0 $ et $ -3 < 0 $. C'est bon.
Étape 2 : on applique la fonction inverse à chaque membre :
Étape 3 : la fonction inverse est décroissante sur $ \left]-\infty\,;\,0\right[ $, donc on inverse les inégalités :
Ainsi : $ -\dfrac{1}{3} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant -\dfrac{1}{7} $.
Remarque
L'erreur la plus fréquente est d'oublier d'inverser le sens des inégalités. Pour s'en souvenir, on peut retenir que « plus $ x $ est grand, plus $ \dfrac{1}{x} $ est petit » (pour $ x > 0 $).
On peut aussi vérifier son résultat : si $ x = 2 $ alors $ \dfrac{1}{x} = 0{,}5 $ et on a bien $ 0{,}2 \leqslant 0{,}5 \leqslant 0{,}5 $. Si $ x = 5 $ alors $ \dfrac{1}{x} = 0{,}2 $ et on a bien $ 0{,}2 \leqslant 0{,}2 \leqslant 0{,}5 $.