Encadrements et fonctions de référence

1. On a $0 < 2 \leqslant x \leqslant 5$. La fonction inverse est strictement décroissante sur $\left]0 ; +\infty\right[$, donc on inverse les inégalités :
   $\mathbf{\dfrac{1}{5} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{2}}$
2. On multiplie l'encadrement par $3$ (positif, l'ordre est conservé) :
   $\dfrac{3}{5} \leqslant \dfrac{3}{x} \leqslant \dfrac{3}{2}$
   On ajoute $1$ à chaque membre :
   $\dfrac{3}{5} + 1 \leqslant \dfrac{3}{x} + 1 \leqslant \dfrac{3}{2} + 1$
   Soit $\mathbf{\dfrac{8}{5} \leqslant \dfrac{3}{x} + 1 \leqslant \dfrac{5}{2}}$, c'est-à-dire $1{,}6 \leqslant \dfrac{3}{x} + 1 \leqslant 2{,}5$.
3. La fonction racine carrée est strictement croissante sur $\left[0 ; +\infty\right[$, donc l'ordre est conservé :
   $\mathbf{\sqrt{2} \leqslant \sqrt{x} \leqslant \sqrt{5}}$
   En valeurs approchées : $1{,}41 \leqslant \sqrt{x} \leqslant 2{,}24$.
4. Pour $x = 2$ : $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ et $\dfrac{3}{2} + 1 = 2{,}5$.
   Donc $\mathbf{\sqrt{2} < \dfrac{3}{2} + 1}$.
   Pour $x = 5$ : $\sqrt{5} \approx 2{,}24$ et $\dfrac{3}{5} + 1 = 1{,}6$.
   Donc $\mathbf{\sqrt{5} > \dfrac{3}{5} + 1}$.
5. Non, on ne peut pas l'affirmer. D'après la question précédente, pour $x = 2$ on a $\sqrt{x} < \dfrac{3}{x} + 1$, mais pour $x = 5$ on a $\sqrt{x} > \dfrac{3}{x} + 1$. L'inégalité change de sens sur l'intervalle $\left[2 ; 5\right]$, donc il est impossible de comparer $\sqrt{x}$ et $\dfrac{3}{x} + 1$ pour tout $x$ de cet intervalle.

→ Pour réviser : Résoudre graphiquement une équation ou inéquation avec une fonction de référence