Résistances en parallèle

Durée estimée

15 minutes

Difficulté

Lorsque deux résistances $R_1$ et $R_2$ sont montées en parallèle dans un circuit électrique, la résistance totale $R$ vérifie la relation :

$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$

On fixe $R_1 = 6$ ohms et $R_2 = 3$ ohms. Calculer la résistance totale $R$.
On fixe désormais $R_1 = 4$ ohms. Déterminer la valeur de $R_2$ pour obtenir une résistance totale $R = 2$ ohms.
On fixe $R_1 = 10$ ohms et on sait que $5 \leqslant R_2 \leqslant 20$.
1. Déterminer un encadrement de $\dfrac{1}{R_2}$.
2. En déduire un encadrement de $\dfrac{1}{R}$, puis de $R$.

Corrigé

On calcule :
$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$
Donc $R = 2$ ohms.
On a $\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$, donc :
$\dfrac{1}{R_2} = \dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{R_1} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}$
Donc $R_2 = 4$ ohms.
1. On a $0 < 5 \leqslant R_2 \leqslant 20$. La fonction inverse est strictement décroissante sur $\left]0 ; +\infty\right[$, donc :
  $\mathbf{\dfrac{1}{20} \leqslant \dfrac{1}{R_2} \leqslant \dfrac{1}{5}}$
2. On ajoute $\dfrac{1}{R_1} = \dfrac{1}{10}$ à chaque membre :
  $\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{20} \leqslant \dfrac{1}{R} \leqslant \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{5}$
  $\dfrac{2}{20} + \dfrac{1}{20} \leqslant \dfrac{1}{R} \leqslant \dfrac{1}{10} + \dfrac{2}{10}$
  $\dfrac{3}{20} \leqslant \dfrac{1}{R} \leqslant \dfrac{3}{10}$
  On applique à nouveau la fonction inverse (les trois termes sont strictement positifs, donc on inverse les inégalités) :
  $\mathbf{\dfrac{10}{3} \leqslant R \leqslant \dfrac{20}{3}}$
  La résistance totale est comprise entre environ $3{,}3$ ohms et $6{,}7$ ohms.