Fréquence d’une corde de guitare et fonction inverse
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La fréquence $f$ (en Hz) d'une note jouée sur une corde de guitare dépend de la longueur vibrante $L$ (en cm) de la corde selon la formule :
On cherche à étudier comment la fréquence varie quand on modifie la longueur de la corde.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Étape 1 : Calculer la fréquence produite par une corde vibrante de longueur $60$ cm.
$f(60) = $ [[f60]] Hz
$f(60) = $ [[f60]] Hz
Étape 2 : Le guitariste appuie sur une frette et raccourcit la corde de $60$ cm à $40$ cm. Sans calculer $f(40)$, la fréquence va-t-elle augmenter ou diminuer ?
- (Correct) Augmenter, car si $L$ diminue alors $\dfrac{1}{L}$ augmente
- (Incorrect) Diminuer, car la corde est plus courte
- (Incorrect) On ne peut pas savoir sans calculer
Étape 3 : Comparer $f(40)$ et $f(60)$ sans calculer, en utilisant les propriétés de la fonction inverse.
On a $0 < 40 < 60$, donc $\dfrac{1}{40}$ [[comp]] $\dfrac{1}{60}$.
On a $0 < 40 < 60$, donc $\dfrac{1}{40}$ [[comp]] $\dfrac{1}{60}$.
Étape 4 : Les cordes de cette guitare ont une longueur vibrante $L$ comprise entre $40$ cm et $80$ cm.
Encadrer $f(L)$.
$f(L)$ est compris entre [[fmin]] et [[fmax]] Hz.
Encadrer $f(L)$.
$f(L)$ est compris entre [[fmin]] et [[fmax]] Hz.
Étape 5 : Le La du diapason vibre à $110$ Hz. Peut-on jouer cette note sur cette guitare ?
- (Correct) Oui, car $60 \leqslant 110 \leqslant 120$
- (Incorrect) Non, car $110 > 80$
- (Incorrect) On ne peut pas conclure
Étape 6 : Déterminer la longueur de corde $L$ exacte pour obtenir la note La à $110$ Hz.
$L = $ [[long]]
$L = $ [[long]]