Déterminer le rapport d’une homothétie
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Créer un compteLorsqu'on connaît une figure et son image par une homothétie, on peut retrouver le rapport $k$ en comparant les distances au centre ou les longueurs de segments correspondants.
Méthode
Pour déterminer le rapport $k$ d'une homothétie de centre $O$ :
- Étape 1 : identifier un point $M$ et son image $M'$.
- Étape 2 : calculer le rapport des distances au centre :
- Étape 3 : déterminer le signe de $k$ :
- si $M$ et $M'$ sont du même côté de $O$, alors $k > 0$ ;
- si $M$ et $M'$ sont de part et d'autre de $O$, alors $k < 0$.
À partir de longueurs données
Le triangle $A'B'C'$ est l'image du triangle $ABC$ par une homothétie de centre $O$. On sait que $OA = 2$ cm et $OA' = 5$ cm. Les points $A$ et $A'$ sont du même côté de $O$. Déterminer le rapport $k$.
Étape 1 : on identifie le point $A$ et son image $A'$.
Étape 2 : on calcule le rapport des distances au centre.
Étape 3 : comme $A$ et $A'$ sont du même côté de $O$, le rapport est positif.
Comme $|k| = 2{,}5 > 1$, il s'agit d'un agrandissement de facteur $2{,}5$.
À partir d'une figure sur quadrillage
Sur un quadrillage, le segment $[AB]$ mesure 3 carreaux et son image $[A'B']$ mesure 6 carreaux. Le centre $O$ est situé entre les deux segments, c'est-à-dire que $A$ et $A'$ sont de part et d'autre de $O$. Déterminer le rapport $k$.
Étape 1 : on utilise les longueurs des segments correspondants. Le rapport des longueurs vaut :
Étape 2 : comme les points sont de part et d'autre du centre $O$, le rapport est négatif.
Il s'agit d'un agrandissement de facteur 2 avec retournement.
Remarque
On peut aussi utiliser n'importe quelle paire de segments correspondants pour calculer $|k|$ :
Le signe se détermine ensuite en observant la position des figures par rapport au centre.
Attention
Le rapport $k$ peut être un nombre décimal ou une fraction. Ne pas oublier de vérifier le signe en observant la position relative des points par rapport au centre $O$.