Orthogonalité et produit scalaire dans l'espace
Exercices
Équations de plans – Bac S Métropole 2008
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Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $ \left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right) $, on considère les points
$ A\left(1 , 1 , 0\right) $ , $ B\left(1 , 2 , 1\right) $ et $ C\left(3 , - 1 , 2\right) $.
- Démontrer que les points $ A $, $ B $ et $ C $ ne sont pas alignés.
- Démontrer que le plan $ \left(ABC\right) $ a pour équation cartésienne $ 2x+y - z - 3=0 $.
- On considère les plans $ \left(P\right) $ et $ \left(Q\right) $ d'équations respectives $ x+2y - z - 4=0 $ et $ 2x+3y - 2z - 5=0 $.
Démontrer que l'intersection des plans $ \left(P\right) $ et $ \left(Q\right) $ est une droite $ \left(D\right) $, dont une représentation paramétrique est :
$ \left\{ \begin{matrix} x= - 2+t \\ y=3 \\ z=t \end{matrix}\right. $ avec $ \left(t\in \mathbb{R}\right) $ - Quelle est l'intersection des trois plans $ \left(ABC\right) $, $ \left(P\right) $ et $ \left(Q\right) $ ?
- Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer la distance du point $ A $ à la droite $ \left(D\right) $.
Corrigé
- $ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} $
$ \overrightarrow{AC} \begin{pmatrix} 2 \\ - 2 \\ 2 \end{pmatrix} $
Les vecteurs $ \overrightarrow{AB} $ et $ \overrightarrow{AC} $ n'étant pas colinéaires, les points A, B et C ne sont pas alignés. - Les coordonnées des points A, B et C vérifient l'équation $ 2x+y - z - 3=0 $. En effet :
pour A : $ 2\times 1+1\times 1 - 1\times 0 - 3=0 $
pour B : $ 2\times 1+1\times 2 - 1\times 1 - 3=0 $
pour C : $ 2\times 3+1\times \left( - 1\right) - 1\times 2 - 3=0 $
Le plan (ABC) a donc pour équation cartésienne $ 2x+y - z - 3=0 $.
- $ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} $
- M de coordonnées $ \left(x ; y ; z \right) $ appartient à $ P \cap Q $ si et seulement si :
$ \left\{ \begin{matrix} x+2y - z - 4=0 \\ 2x+3y - 2z - 5=0 \end{matrix}\right. $
On pose $ t=z $ et on résout le système.
$ \left\{ \begin{matrix} z=t \\ x= - 2y+t+4 \\ - 4y+2t +8+3y - 2t - 5=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} z=t \\ y=3 \\ x= - 2+t \end{matrix}\right. $ - Pour trouver l'intersection des 3 plans (ABC), (P) et (Q), on résout le système :
$ \left(S\right) \left\{ \begin{matrix} 2x+y - z - 3=0 \\ x+2y - z - 4=0 \\ 2x+3y - 2z - 5=0 \end{matrix}\right. $
D'après la question précédente les deux dernières équations donnent y=3 ce qui permet d'accélérer la résolution :
$ \left(S\right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y=3 \\ 2x+3 - z - 3=0 \\ x+6 - z - 4=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=2 \\ y=3 \\ z=4 \end{matrix}\right. $
L'intersection des plans (ABC), (P) et (Q) est donc le point de coordonnées $ \left(2 ; 3 ; 4\right) $. - Soit M un point de (D). Ses coordonnées $ \left(x;y;z\right) $ sont de la forme :
$ \left\{ \begin{matrix} x= - 2+t \\ y=3 \\ z=t \end{matrix}\right. $
La distance de A à (D) est le minimum de la distance AM lorsque M décrit (D).
Or :
$ AM^{2}=\left( - 3+t\right)^{2}+\left(3 - 1\right)^{2}+t^{2}=t^{2} - 6t+9+4+t^{2} =2t^{2} - 6t+13 $
$ AM^{2} $ est un polynôme du second degré en $ t $ qui atteint son minimum pour $ t= - \dfrac{b}{2a}=\dfrac{3}{2} $
Ce minimum vaut alors :
$ AM_{0}^{2}=2\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2} - 6\left(\dfrac{3}{2}\right)+13=\dfrac{17}{2} $
La distance de A à (D) est donc :
$ AM_{0}=\dfrac{\sqrt{17}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{34}}{2} $