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Orthogonalité et produit scalaire dans l'espace Exercices

Géométrie dans l’espace – Bac S Nouvelle Calédonie 2016

Durée estimée
25 minutes
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Objectif travaillé

Dans le repère orthonormé $ (O~;~\vec{i},\vec{j},\vec{k}) $ de l'espace, on considère pour tout réel $ m $, le plan $ P_m $ d'équation

$ \dfrac{1}{4} m^2x+(m - 1)y+\dfrac{1}{2} mz - 3 = 0. $
  1. Pour quelle(s) valeur(s) de $ m $ le point $ A(1~;~1~;~1) $ appartient-il au plan $ P_m $ ?

  2. Montrer que les plans $ P_1 $ et $ P_{ - 4} $ sont sécants selon la droite $ (d) $ de représentation paramétrique

    $ (d) \ \begin{cases} x = 12 - 2t \\ y = 9 - 2t \\ z = t \end{cases} \quad $

    avec

    $ t \in \mathbb{R} $
    1. Montrer que l'intersection entre $ P_0 $ et $ (d) $ est un point noté $ B $ dont on déterminera les coordonnées.
    2. Justifier que pour tout réel $ m $, le point $ B $ appartient au plan $ P_m $.
    3. Montrer que le point $ B $ est l'unique point appartenant à $ P_m $ pour tout réel $ m $.

  4. Dans cette question, on considère deux entiers relatifs $ m $ et $ m^\prime $ tels que

    $ - 10 \leqslant m \leqslant 10 $

    et

    $ - 10 \leqslant m^\prime \leqslant 10 $.

    On souhaite déterminer les valeurs de $ m $ et de $ m^\prime $ pour lesquelles $ P_m $ et $ P_{m^\prime} $ sont perpendiculaires.

    1. Vérifier que $ P_1 $ et $ P_{ - 4} $ sont perpendiculaires.

    2. Montrer que les plans $ P_m $ et $ P_{m^\prime} $ sont perpendiculaires si et seulement si

      $ \left(\dfrac{mm^\prime}{4}\right)^2 +(m - 1)\left(m^\prime - 1\right)+\dfrac{mm^\prime}{4} = 0. $

    3. On donne l'algorithme suivant :

      Variables :  
      $ m $ et $ m^\prime $ entiers relatifs  
      Traitement :  
      Pour $ m $ allant de $ - 10 $ à $ 10 $ :  
      $ \quad $Pour $ m^\prime $ allant de $ - 10 $ à $ 10 $ :  
      $ \quad \quad $Si $ \left(mm^\prime\right)^2+16(m - 1)\left(m^\prime - 1\right)+4mm^\prime = 0 $  
      $ \quad \quad $Alors  
      $ \quad \quad \quad $Afficher $ \left(m~;~m^\prime\right) $  
      $ \quad \quad $Fin du Si  
      $ \quad $Fin du Pour  
      Fin du Pour  

      Quel est le rôle de cet algorithme ?

    4. Cet algorithme affiche six couples d'entiers dont $ ( - 4~;~1),\: (0~;~1) $ et $ (5~;~ - 4) $.

      Écrire les six couples dans l'ordre d'affichage de l'algorithme.

Corrigé

  1. Le point $ A(1~;~1~;~1) $ appartient au plan $ P_m $ si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation du plan :
    $ \dfrac{1}{4} m^2(1) + (m - 1)(1) + \dfrac{1}{2} m(1) - 3 = 0 $

    $ \dfrac{1}{4} m^2 + m - 1 + \dfrac{1}{2} m - 3 = 0 $

    $ \dfrac{1}{4} m^2 + \dfrac{3}{2} m - 4 = 0 $

    Multiplions par 4 pour simplifier :
    $ m^2 + 6m - 16 = 0 $

    C'est une équation du second degré. Le discriminant est :
    $ \Delta = 6^2 - 4 \times 1 \times (-16) = 36 + 64 = 100 = 10^2 $

    Les solutions sont :
    $ m_1 = \dfrac{-6 - 10}{2} = -8 $ et $ m_2 = \dfrac{-6 + 10}{2} = 2 $

    Le point $ A $ appartient au plan $ P_m $ pour $ m = -8 $ ou $ m = 2 $.

  2. Déterminons les équations des plans $ P_1 $ et $ P_{-4} $ :
    Pour $ m = 1 $ : $ \dfrac{1}{4}x + 0y + \dfrac{1}{2}z - 3 = 0 $, soit $ x + 2z - 12 = 0 $
    Pour $ m = -4 $ : $ \dfrac{1}{4}(-4)^2x + (-4 - 1)y + \dfrac{1}{2}(-4)z - 3 = 0 $, soit $ 4x - 5y - 2z - 3 = 0 $

    Les vecteurs normaux sont $\vec{n}_1(1~;~0~;~2)$ et $\vec{n}_{-4}(4~;~-5~;~-2)$.
    Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (le rapport des abscisses est 4, celui des ordonnées n'est pas défini), donc les plans sont sécants.

    Vérifions si la droite $ (d) $ appartient aux deux plans. Soit $ M(12-2t~;~9-2t~;~t) $ un point de $ (d) $.
    Dans $ P_1 $ : $ (12-2t) + 2(t) - 12 = 12 - 2t + 2t - 12 = 0 $. La condition est vérifiée.
    Dans $ P_{-4} $ : $ 4(12-2t) - 5(9-2t) - 2(t) - 3 = 48 - 8t - 45 + 10t - 2t - 3 = 0 $. La condition est vérifiée.

    Les plans $ P_1 $ et $ P_{-4} $ sont bien sécants selon la droite $ (d) $.

    1. L'équation de $ P_0 $ est $ (0-1)y + 0z - 3 = 0 $, soit $ -y - 3 = 0 $, donc $ y = -3 $.
      Un point $ M(12-2t~;~9-2t~;~t) $ de $ (d) $ appartient à $ P_0 $ si :
      $ 9 - 2t = -3 $
      $ -2t = -12 $
      $ t = 6 $

      En remplaçant $ t = 6 $ dans les coordonnées de $ (d) $ :
      $ x = 12 - 2(6) = 0 $
      $ y = 9 - 2(6) = -3 $
      $ z = 6 $

      Le point d'intersection est $ B(0~;~-3~;~6) $.

    2. Remplaçons les coordonnées de $ B(0~;~-3~;~6) $ dans l'équation de $ P_m $ :
      $ \dfrac{1}{4}m^2(0) + (m - 1)(-3) + \dfrac{1}{2}m(6) - 3 = -3m + 3 + 3m - 3 = 0 $
      La relation est vraie pour tout réel $ m $.

      Pour tout réel $ m $, le point $ B $ appartient au plan $ P_m $.

    3. Un point $ M(x~;~y~;~z) $ appartient à $ P_m $ pour tout $ m $ si l'égalité suivante est vérifiée pour tout $ m $ :
      $ \dfrac{1}{4}x m^2 + \left(\dfrac{1}{2}z + y\right)m - y - 3 = 0 $

      C'est un polynôme en $ m $ qui est nul pour tout $ m $. Ses coefficients doivent donc être nuls :
      $ \begin{cases} \dfrac{1}{4}x = 0 \\ \dfrac{1}{2}z + y = 0 \\ -y - 3 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 0 \\ y = -3 \\ z = -2y = 6 \end{cases} $

      Le point $ B(0~;~-3~;~6) $ est donc l'unique point appartenant à tous les plans $ P_m $.

    1. Les vecteurs normaux sont $\vec{n}_1(1~;~0~;~2)$ (pour $ P_1 $ multiplié par 4) et $\vec{n}_{-4}(4~;~-5~;~-2)$.
      Leur produit scalaire est :
      $ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_{-4} = 1 \times 4 + 0 \times (-5) + 2 \times (-2) = 4 + 0 - 4 = 0 $

      Les plans $ P_1 $ et $ P_{-4} $ sont donc perpendiculaires.

    2. Les plans $ P_m $ et $ P_{m'} $ sont perpendiculaires si et seulement si le produit scalaire de leurs vecteurs normaux est nul.
      Vecteurs normaux : $ \vec{n}_m\left(\dfrac{1}{4}m^2~;~m-1~;~\dfrac{1}{2}m\right) $ et $ \vec{n}_{m'}\left(\dfrac{1}{4}m'^2~;~m'-1~;~\dfrac{1}{2}m'\right) $.
      $ \vec{n}_m \cdot \vec{n}_{m'} = 0 \iff \dfrac{1}{4}m^2 \times \dfrac{1}{4}m'^2 + (m-1)(m'-1) + \dfrac{1}{2}m \times \dfrac{1}{2}m' = 0 $
      $ \vec{n}_m \cdot \vec{n}_{m'} = 0 \iff \left(\dfrac{mm'}{4}\right)^2 + (m-1)(m'-1) + \dfrac{mm'}{4} = 0 $

      La condition est donc vérifiée.

    3. Cet algorithme parcourt tous les couples d'entiers $ (m~;~m') $ compris entre $ -10 $ et $ 10 $.
      Il teste si l'égalité $ (mm')^2 + 16(m - 1)(m' - 1) + 4mm' = 0 $ est vraie.
      Cette égalité est équivalente à celle de la question précédente multipliée par 16.

      L'algorithme affiche les couples d'entiers $ (m~;~m') $ pour lesquels les plans $ P_m $ et $ P_{m'} $ sont perpendiculaires.

    4. Les six couples sont :
      $ (-4~;~1) $, $ (-4~;~5) $, $ (0~;~1) $, $ (1~;~-4) $, $ (1~;~0) $ et $ (5~;~-4) $.

      Classons-les dans l'ordre d'affichage (par $ m $ croissant, puis $ m' $) :
      $ m = -4 \implies m' = 1 $ et $ m' = 5 $
      $ m = 0 \implies m' = 1 $
      $ m = 1 \implies m' = -4 $ et $ m' = 0 $
      $ m = 5 \implies m' = -4 $

      Les couples dans l'ordre d'affichage sont :
      $ (-4~;~1), (-4~;~5), (0~;~1), (1~;~-4), (1~;~0), (5~;~-4) $.