Géométrie analytique - Bac S Centres étrangers 2009

Exercice 2

5 points - Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On se propose dans cet exercice, d'étudier des propriétés d'un solide de l'espace.
L'espace est rapporté à un repère orthonormal \left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right).
On considère les points A(3;4;0) ; B(0;5;0) et C(0;0;5). On note I le milieu du segment [AB].

1. Faire une figure où l'on placera les points A, B, C, I dans le repère \left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right).
2. Démontrer que les triangles OAC et OBC sont rectangles et isocèles.
   Quelle est la nature du triangle ABC ?
3. Soit H le point de coordonnées \left(\frac{15}{19}; \frac{45}{19}; \frac{45}{19}\right).
   1. Démontrer que les points H, C, I sont alignés.
   2. Démontrer que H est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC).
   3. En déduire une équation cartésienne du plan ABC.
4. Calculs d'aire et de volume.
   1. Calculer l'aire du triangle OAB. En déduire le volume du tétraèdre OABC.
   2. Déterminer la distance du point O au plan (ABC).
   3. Calculer l'aire du triangle ABC.