Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteMéthode
Pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, on choisit une des trois propriétés suivantes selon les données de l'énoncé.
- Avec les diagonales : si les diagonales se coupent en leur milieu, alors le quadrilatère est un parallélogramme.
- Avec les quatre côtés : si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés deux à deux de même longueur, alors c'est un parallélogramme.
- Avec deux côtés : si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c'est un parallélogramme.
Remarque
La rédaction d'une démonstration se fait en trois temps : rappeler les données, citer la propriété utilisée, conclure en nommant le quadrilatère obtenu.
Exemples
Utiliser les diagonales
$ ROSE $ est un quadrilatère dont les diagonales $ [RO] $ et $ [SE] $ se coupent en un point $ M $ tel que $ RM = MO $ et $ SM = ME $. Démontrer que $ ROSE $ est un parallélogramme.
Étape 1 : Noter les données. $ M $ appartient à la diagonale $ [RO] $ avec $ RM = MO $, donc $ M $ est le milieu de $ [RO] $. De même, $ M $ est le milieu de $ [SE] $.
Étape 2 : Les diagonales $ [RO] $ et $ [SE] $ se coupent donc en leur milieu $ M $.
Étape 3 : D'après la propriété « Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme », on en conclut que $ ROSE $ est un parallélogramme de centre $ M $.
Utiliser les côtés opposés
$ RANG $ est un quadrilatère non croisé tel que $ RA = NG = 4{,}2 $ cm et $ AN = RG = 3{,}1 $ cm. Démontrer que $ RANG $ est un parallélogramme.
Étape 1 : Dans $ RANG $, identifier les côtés opposés :
- $ [RA] $ est opposé à $ [NG] $ ;
- $ [AN] $ est opposé à $ [RG] $.
Étape 2 : D'après les données, $ RA = NG $ et $ AN = RG $. Les côtés opposés sont donc deux à deux de même longueur.
Étape 3 : D'après la propriété « Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés deux à deux de même longueur, alors c'est un parallélogramme », on conclut que $ RANG $ est un parallélogramme.
Utiliser deux côtés parallèles et égaux
$ BISE $ est un quadrilatère non croisé avec $ (BI)\ //\ (SE) $ et $ BI = SE $. Démontrer que $ BISE $ est un parallélogramme.
Étape 1 : Dans $ BISE $, les côtés $ [BI] $ et $ [SE] $ sont opposés (ils relient des sommets non consécutifs dans l'ordre $ B $, $ I $, $ S $, $ E $).
Étape 2 : D'après les données, ces deux côtés sont parallèles et de même longueur.
Étape 3 : D'après la propriété « Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c'est un parallélogramme », on conclut que $ BISE $ est un parallélogramme.
Choisir la bonne propriété
Dans un quadrilatère $ KLMN $ non croisé, on sait que $ KL = MN $ et $ (KL)\ //\ (MN) $. Démontrer que $ KLMN $ est un parallélogramme.
Étape 1 : Les données portent sur deux côtés opposés : $ [KL] $ et $ [MN] $ (qui se font face dans $ KLMN $).
Étape 2 : Ces deux côtés sont parallèles et de même longueur. On utilise donc la propriété avec deux côtés.
Étape 3 : Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c'est un parallélogramme. Donc $ KLMN $ est un parallélogramme.
Attention
Ne pas confondre les propriétés (un parallélogramme a...) et leurs réciproques (si un quadrilatère a..., alors c'est un parallélogramme).
Pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, on utilise les réciproques, c'est-à-dire les propriétés du 3 du cours.