Calculer une longueur intermédiaire avec Thalès
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Dans certains exercices, la longueur cherchée n'est pas directement un côté de l'un des deux triangles de la configuration de Thalès. Il faut alors exprimer les côtés en fonction de la longueur cherchée avant d'appliquer le théorème.
Méthode
- Étape 1 : Repérer la configuration de Thalès (alignement et parallélisme).
- Étape 2 : Écrire l'égalité des rapports donnée par le théorème de Thalès.
- Étape 3 : Exprimer les côtés des triangles en fonction de la longueur cherchée (souvent notée $ x $).
- Étape 4 : Remplacer dans l'égalité des rapports et résoudre l'équation obtenue.
- Étape 5 : En déduire la longueur demandée.
Calculer un sous-segment (cas classique)
On considère la figure ci-dessous où les points $ A, B, D $ sont alignés dans cet ordre, les points $ A, C, E $ sont alignés dans cet ordre, et les droites $ (BC) $ et $ (DE) $ sont parallèles.
On donne : $ AB = 3 $ cm, $ BD = 2 $ cm, $ AC = 4{,}5 $ cm.
Calculer $ CE $.
Étape 1 : Les points $ A, B, D $ et $ A, C, E $ sont alignés. Les droites $ (BC) $ et $ (DE) $ sont parallèles. On peut appliquer le théorème de Thalès.
Étape 2 : D'après le théorème de Thalès :
Étape 3 : La longueur $ CE $ n'apparaît pas directement dans les rapports. On exprime les côtés :
$ AD = AB + BD = 3 + 2 = 5 $
$ AE = AC + CE = 4{,}5 + CE $
Étape 4 : On remplace :
$ \dfrac{3}{5} = \dfrac{4{,}5}{4{,}5 + CE} $
On effectue le produit en croix :
$ 3 \times (4{,}5 + CE) = 5 \times 4{,}5 $
$ 13{,}5 + 3 \times CE = 22{,}5 $
$ 3 \times CE = 9 $
$ CE = 3 $
Étape 5 : La longueur $ CE $ est donc égale à $ 3 $ cm.
Remarque
On peut aussi procéder autrement : calculer d'abord $ AE $ à partir de l'égalité des rapports, puis en déduire $ CE $ par soustraction.
$ \dfrac{3}{5} = \dfrac{4{,}5}{AE} $ donne $ AE = \dfrac{5 \times 4{,}5}{3} = 7{,}5 $
Puis $ CE = AE - AC = 7{,}5 - 4{,}5 = 3 $ cm.
Trouver AB quand on connaît BD (mise en équation)
On considère la figure ci-dessous où les points $ A, B, D $ sont alignés dans cet ordre, les points $ A, C, E $ sont alignés dans cet ordre, et les droites $ (BC) $ et $ (DE) $ sont parallèles.
On donne : $ BD = 8 $ cm, $ AE = 9 $ cm et $ AC = 4 $ cm.
Calculer $ AB $.
Étape 1 : Les points $ A, B, D $ et $ A, C, E $ sont alignés. Les droites $ (BC) $ et $ (DE) $ sont parallèles.
Étape 2 : D'après le théorème de Thalès :
Étape 3 : On ne connaît ni $ AB $ ni $ AD $. On pose $ AB = x $, d'où :
$ AD = AB + BD = x + 8 $
Étape 4 : On remplace dans l'égalité :
$ \dfrac{x}{x + 8} = \dfrac{4}{9} $
On effectue le produit en croix :
$ 9x = 4(x + 8) $
$ 9x = 4x + 32 $
$ 9x - 4x = 32 $
$ 5x = 32 $
$ x = \dfrac{32}{5} = 6{,}4 $
Étape 5 : La longueur $ AB $ est donc égale à $ 6{,}4 $ cm.
Attention
Ne pas chercher à faire figurer la longueur demandée dans l'égalité des rapports si elle n'est pas un côté d'un des deux triangles. Il vaut mieux d'abord calculer le côté du triangle correspondant, puis en déduire la longueur demandée par addition ou soustraction.