Th. de Thalès (Brevet 2013)

Comme les points $C, F$ et $D$ sont alignés :

$FD=CD-CF=6-x \qquad$(1)

Comme $BCDE$ est un carré, les droites $\left(BE\right)$ et $\left(CD\right)$ sont parallèles.

D'après le théorème de Thalès :

$\frac{AB}{AC}=\frac{AM}{AF}=\frac{BM}{CF}$

$\frac{3}{9}=\frac{AM}{AF}=\frac{BM}{x}$

De l'égalité $\frac{3}{9}=\frac{BM}{x}$, on déduit :

$BM=\frac{3x}{9}=\frac{x}{3} \qquad$(2)

En utilisant les égalités (1) et (2), on peut dire que les longueurs $FD$ et $BM$ sont donc égales lorsque :

$6-x=\frac{x}{3}$

$6=\frac{x}{3}+x$

$6=\frac{4}{3}x$

$\frac{4}{3}x=6$

$x=6\times \frac{3}{4}$

$x=4,5$

Les longueurs $BM$ et $FD$ sont donc égales lorsque $CF$ vaut $4,5$cm.