Exercice corrigé(D'après Brevet Centres étrangers 2013)
Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
On considère la figure ci-dessous, qui n'est pas en vraie grandeur.
BCDE est un carré de 6 cm de côté.
Les points A, B et C sont alignés et AB=3cm.
F est un point du segment \left[CD\right].
La droite \left(AF\right) coupe le segment \left[BE\right] en M.
Déterminer la longueur CF par calcul ou par construction pour que les longueurs BM et FD soient égales.
Corrigé
Notons x=CF.
Comme les points C, F et D sont alignés :
FD=CD-CF=6-x (1)
Comme BCDE est un carré, les droites \left(BE\right) et \left(CD\right) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès :
\frac{AB}{AC}=\frac{AM}{AF}=\frac{BM}{CF}
\frac{3}{9}=\frac{AM}{AF}=\frac{BM}{x}
De l'égalité \frac{3}{9}=\frac{BM}{x}, on déduit :
BM=\frac{3x}{9}=\frac{x}{3} (2)
En utilisant les égalités (1) et (2), on peut dire que les longueurs FD et BM sont donc égales lorsque :
6-x=\frac{x}{3}
6=\frac{x}{3}+x
6=\frac{4}{3}x
\frac{4}{3}x=6
x=6\times \frac{3}{4}
x=4,5
Les longueurs BM et FD sont donc égales lorsque CF vaut 4,5cm.
