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Troisième

difficileExercice corrigé

Th. de Thalès (Brevet 2013)

(D'après Brevet Centres étrangers 2013)

Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

On considère la figure ci-dessous, qui n'est pas en vraie grandeur.

Courbe représentative de f

BCDEBCDEBCDE est un carré de 666 cm de côté.

Les points AAA, BBB et CCC sont alignés et AB=3AB=3AB=3cm.

FFF est un point du segment [CD]\left[CD\right][CD].

La droite (AF)\left(AF\right)(AF) coupe le segment [BE]\left[BE\right][BE] en MMM.

Déterminer la longueur CFCFCF pour que les longueurs BMBMBM et FDFDFD soient égales.

Corrigé

Notons x=CFx=CFx=CF.

Comme les points C,FC, FC,F et DDD sont alignés :

FD=CD−CF=6−xFD=CD-CF=6-x \qquad FD=CD−CF=6−x(1)

Comme BCDEBCDEBCDE est un carré, les droites (BE)\left(BE\right)(BE) et (CD)\left(CD\right)(CD) sont parallèles.

D'après le théorème de Thalès :

ABAC=AMAF=BMCF\frac{AB}{AC}=\frac{AM}{AF}=\frac{BM}{CF}​AC​​AB​​=​AF​​AM​​=​CF​​BM​​

39=AMAF=BMx\frac{3}{9}=\frac{AM}{AF}=\frac{BM}{x}​9​​3​​=​AF​​AM​​=​x​​BM​​

De l'égalité 39=BMx\frac{3}{9}=\frac{BM}{x}​9​​3​​=​x​​BM​​, on déduit :

BM=3x9=x3BM=\frac{3x}{9}=\frac{x}{3} \qquad BM=​9​​3x​​=​3​​x​​(2)

En utilisant les égalités (1) et (2), on peut dire que les longueurs FDFDFD et BMBMBM sont donc égales lorsque :

6−x=x36-x=\frac{x}{3}6−x=​3​​x​​

6=x3+x6=\frac{x}{3}+x6=​3​​x​​+x

6=43x6=\frac{4}{3}x6=​3​​4​​x

43x=6\frac{4}{3}x=6​3​​4​​x=6

x=6×34x=6\times \frac{3}{4}x=6×​4​​3​​

x=4,5x=4,5x=4,5

Les longueurs BMBMBM et FDFDFD sont donc égales lorsque CFCFCF vaut 4,54,54,5cm.

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Dans ce chapitre...

Cours

  • Théorème de Thalès

Exercices

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  • moyenMesure d'un arbre (Brevet 2013)
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Méthodes

  • Calculer des longueurs avec le théorème de Thalès
  • Déterminer si deux droites sont parallèles (Thalès)

VOIR AUSSI...

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