Calculer un terme d’une suite géométrique
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Si $ \left(u_{n}\right) $ est une suite géométrique de raison $ q $ :
- Étape 1 : identifier les données (premier terme, raison, ou deux termes).
- Étape 2 : choisir la formule adaptée.
- si l'on connaît $ u_{0} $ et $ q $, utiliser $ u_{n}=u_{0}\times q^{n} $
- si l'on connaît $ u_{k} $ et $ q $, utiliser $ u_{n}=u_{k}\times q^{n - k} $
- Étape 3 : remplacer par les valeurs, calculer la puissance à la calculatrice si nécessaire.
Si la raison $ q $ n'est pas donnée et que l'on connaît $ u_{k} $ et $ u_{n} $, elle se calcule par :
Premier terme et raison connus
Soit $ \left(u_{n}\right) $ la suite géométrique de premier terme $ u_{0}=5 $ et de raison $ q=2 $.
Calculer $ u_{8} $ et $ u_{12} $.
Étape 1 : données : $ u_{0}=5 $ et $ q=2 $.
Étape 2 : utiliser la formule $ u_{n}=u_{0}\times q^{n} $.
Étape 3 : calculer.
$ u_{8}=5\times 2^{8}=5\times 256=1\,280 $
$ u_{12}=5\times 2^{12}=5\times 4\,096=20\,480 $
Raison décimale et terme intermédiaire connu
Soit $ \left(v_{n}\right) $ une suite géométrique de raison $ q=0{,}8 $ telle que $ v_{3}=200 $.
Calculer $ v_{10} $ (arrondir au centième).
Étape 1 : données : $ v_{3}=200 $ et $ q=0{,}8 $.
Étape 2 : utiliser $ v_{n}=v_{k}\times q^{n - k} $ avec $ k=3 $.
Étape 3 : calculer.
$ v_{10}=v_{3}\times q^{10 - 3} $
$ \quad =200\times 0{,}8^{7} $
$ \quad \approx 200\times 0{,}209\,715 $
$ \quad \approx 41{,}94 $
La raison est à calculer
Soit $ \left(u_{n}\right) $ une suite géométrique à termes positifs telle que $ u_{2}=9 $ et $ u_{5}=243 $.
Calculer $ q $ puis $ u_{8} $.
Étape 1 : données : $ u_{2}=9 $ et $ u_{5}=243 $.
Étape 2 : utiliser la relation $ u_{5}=u_{2}\times q^{5 - 2}=u_{2}\times q^{3} $.
$ q^{3}=\dfrac{u_{5}}{u_{2}}=\dfrac{243}{9}=27 $
Comme les termes sont positifs, $ q > 0 $ et $ q=\sqrt[3]{27}=3 $.
Étape 3 : calculer $ u_{8} $.
$ u_{8}=u_{5}\times q^{8 - 5}=243\times 3^{3}=243\times 27=6\,561 $
Remarque
La formule $ u_{n}=u_{0}\times q^{n} $ est un cas particulier de $ u_{n}=u_{k}\times q^{n - k} $ (avec $ k=0 $).
La puissance $ q^{n} $ se calcule avec la touche $\mathbf{\wedge}$ ou $\mathbf{x^{y}}$ de la calculatrice.
Attention
Attention aux priorités opératoires : dans $ u_{n}=u_{0}\times q^{n} $, on calcule d'abord $ q^{n} $, puis on multiplie par $ u_{0} $.
Par exemple $ 5\times 2^{3}=5\times 8=40 $ (et non $ 10^{3}=1\,000 $).
À la calculatrice, bien taper : 5 × 2 ^ 3 (les parenthèses ne sont pas nécessaires grâce aux priorités).