[Bac] Intérêts composés

(D'après bac ES/L Pondichéry 2013)

Le 1er janvier 2000, un client a placé 3000 euros à intérêts composés au taux annuel de 2,5%.

On note $ C_{n} $ le capital du client au 1er janvier de l'année $ 2000+n $, où $ n $ est un entier naturel.

1. Calculer $ C_{1} $ et $ C_{2} $. Arrondir les résultats au centime d'euro.
2. Exprimer $ C_{n+1} $ en fonction de $ C_{n} $. En déduire que, pour tout nombre entier naturel $ n $, on a la relation :
   
   $ C_{n}=3000 \times 1{,}025^{n}. $

3. On donne l'algorithme suivant :

   Entrée	Saisir un nombre $ S $ supérieur à 3000
   Traitement	Affecter à $ n $ la valeur $ 0 $.
   	Affecter à $ U $ la valeur 3000
   	Tant que $ U\leqslant S $
   	$ \quad \quad n $ prend la valeur $ n+1 $
   	$ \quad \quad U $ prend la valeur $ U \times 1{,}025 $
   	Fin tant que
   Sortie	Afficher le nombre $ 2000+n $

   1. Pour la valeur $ S=3300 $ saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant (les résultats seront arrondis à l'unité) :

      Valeur de $ n $	$ 0 $	$ 1 $	$ 2 $	$ 3 $	$ 4 $
      Valeur de $ U $	$ 3000 $	$ \dots $	$ \dots $	$ \dots $	$ \dots $
      Condition $ U\leqslant S $	$ \dots $	$ \dots $	$ \dots $	$ \dots $	$ \dots $

   2. En déduire l'affichage obtenu quand la valeur de $ S $ saisie est 3300.
   3. Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre $ S $ supérieur à 3000.
4. Au 1er janvier 2013, le client avait besoin d'une somme de 5000 euros. Montrer que le capital de son placement n'est pas suffisant à cette date.